PReѧ
Kayıtlı Üye
02-04-2006, 18:32
(pi) Sayısı:
Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı, sayısını verir. İnsanoğlu, aslında çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür. Yıllarca tam olarak bir değer bulamamakla beraber, gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek için çaba sarfetmişlerdir.
Arşimet 3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3.1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3.14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3.1415929, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu. 18.yyda 140, 19yyda 500 basamağa kadar hesaplandı. İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor. işin ilginç tarafı, hâlâ tam bir sonuç yok. Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle bir şeye de rastlanmadı. Şu anda bilinen değerden birkaç basamak:
İlginç Sayılar(1):
3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
.
.
.
Fermat'ın Son Teoremi:
Mesleği Avukatlık olan Fermat, arada bir matematikle de ilgilenirdi. Ama ne ilgilenmek. Aşağıdaki teorem, onun eseri. 1665 yılında 64 yaşında ölen Fermat'ın aşağıdaki teoremi, hâlâ ispatlanamadı. Bu problem üzerinde yıllarca çalışan ünlü alman matematikçi Wolfskehl, 1908 yılında öldüğünde, vasiyet olarak 100bin mark bıraktı. Hem de bu problemi yüzyıl içinde çözecek ilk kişiye verilmek üzere!
Teorem şöyle:
n>2 ve a, b ve c tamsayı olmak üzere
an + bn= cn çözümü olmadığını ispatlayın.
Fermat bu teoremi yazarken kullandığı kağıdın altında çok az yer kaldığı için cevabı yazamadığını, halbuki çok güzel bir ispatı olduğunu yazmıştır. (Belki Fermat ta cevabı bilmiyordu)
Bir hatırlatma: Eğer rastgele n=54179653 sayısını formüle uygulayıp eşitliği sağlamadığını göstermediyseniz, bu sayının hâlâ doğru olma şansı var demektir.
İlginç Sayılar(2):
Üç basamaklı herhangi bir sayıyı iki kere yan yana yazarak elde ettiğimiz yeni sayı, kesinlikle 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 sayılarına kalansız olarak bölünür(neden?).
Örnek: 831831
831831 / 7 = 118833
831831 / 11 = 75621
831831 / 13 = 63987
831831 / 77 = 10803
831831 / 91 = 9141
831831 / 143 = 5817
831831 / 1001 = 831
Sihirli Kareler:
3 x 3: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden üç karenin toplamı, 15.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
4 x 4: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden dört karenin toplamı, 34.
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
5 x 5: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden beş karenin toplamı, 65.
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
İlginç Sayılar(3):
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
Teorem:
Bütün kare sayılar, 1'den başlamak üzere sırasıyla tek tamsayıların toplamı olarak yazılabilir.
Örnekler:
5²=25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
11² = 121
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121
Üçgen Sayılar:
1'den başlamak üzere kendisinden önceki tüm sayıların topl***** karşılık gelen sayıların dizisidir.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... pozitif doğal sayılar ise, üçgen sayılar:
1, 3(1+2), 6(1+2+3), 10(1+2+3+4), 15(1+2+3+4+5),... üçgen sayılardır. Yani:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...
Pascal Üçgeni:
Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.
Pascal üçgeninin bazı özellikleri:
• Kenarlar "1"den oluşur
• ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir.
• Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...)
• Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir.
(Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)
• Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 20, 21, 22, 23 ,24 ,...
(Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=24 )
• Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir.
( Örnek: (a+b)3=1a3+3ab2+3a2b+1b3)
Teorem:
Bütün sayılar 2'nin üsleri toplamı (tekrarsız) olarak yazılabilir.
Örnekler:
12 = 23 + 22
12 = 8 + 4
45 = 25 + 23 + 22 + 20
45 = 32 + 8 + 4 + 1
İlginç Sayılar(4):
12 x 42 = 21 x 24
23 x 96 = 32 x 69
24 x 84 = 42 x 48
13 x 62 = 31 x 26
46 x 96 = 64 x 69
Fibonacci Dizisi:
1'den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının topl***** karşılık gelen sayıların dizisidir.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...ise, fibonacci dizisi:
1, 1(0+1), 2(1+1), 3(1+2), 5(2+3), 8(3+5), 13(5+8),... yani:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
Fibonacci dizisinin kullanıldığı pekçok yerden biri de "Şekil Paradoksları"ndaki üçgenli ve kareli sorulardır.
İlginç Sayılar(5):
3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37= 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999
e Sayısı:
1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ... + (1/n!) serisinin toplamı "e" sayısını verir. Yaklaşık değeri:
e = 2.71828182...dir. (e sabit sayısının kullanıldığı yerler ayrıca anlatılacaktır)
(Sonsuz):
, sadece matematikçilerin değil, düşünen herkesin ilgisini ve merakını çekmiştir. 'u sayı olarak düşünürsek; aklımızı zorlayıp "en büyük sayı"ya ulaştığımızı kabul edelim. O sayının mutlaka 1 fazlası olacağından yeni sayılar elde ederiz.
Meselâ sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında sonsuz adet reel sayı vardır. 0 ile 10 arasında da sonsuz adet sayı olduğuna göre bu iki sonsuz da birbirine eşit olamaz. Bu yüzden matematikte "/" ifadesi tanımsızdır. Aynı şekilde 1 ifadesi de henüz tanımlanamamıştır. Hâlbuki 1'in tüm üsleri 1' eşit olmalıdır.
Kâinatta kaç adet "atom" olduğu sorulsa kaç derdiniz? Herhalde aklınıza gelebilecek en büyük sayıyı söylersiniz. Sizce 1073 nasıl bir sayı? Büyük bir ihtimalle sizin tahmininizden küçük. Ama tüm kâinattaki gezegenlerin, yıldızların, asteroidlerin ... atom sayısı işte bu kadar. (Araştırmalar sonucundaki tahmini sayı).
Kâinatın sonu neresi? Herhalde kâinat da bir yerde bulunuyor. Ayrıca genişlediği (şişen bir balon gibi) ilmî bir gerçek. Nerede, neyin içinde, nereleri kapla***** genişliyor? Bundan sonrası ancak tahmin edilebilir. Şimdilik bunlar sır.
Şimdi 'un ne kadar büyük olduğu daha iyi anlaşılıyor (veya anlaşılamıyor) değil mi?
İlginç Sayılar(6):
(0 x 9) + 8 = 8
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8888
(9876 x 9) + 4 = 88888
(98765 x 9) + 3 = 888888
(987654 x 9) + 2 = 8888888
(9876543 x 9) + 1 = 88888888
(98765432 x 9) + 0 = 888888888
(987654321 x 9) - 1 = 8888888888
(pi) Sayısı:
Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı, sayısını verir. İnsanoğlu, aslında çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür. Yıllarca tam olarak bir değer bulamamakla beraber, gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek için çaba sarfetmişlerdir.
Arşimet 3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3.1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3.14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3.1415929, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu. 18.yyda 140, 19yyda 500 basamağa kadar hesaplandı. İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor. işin ilginç tarafı, hâlâ tam bir sonuç yok. Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle bir şeye de rastlanmadı. Şu anda bilinen değerden birkaç basamak:
İlginç Sayılar(1):
3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
.
.
.
Fermat'ın Son Teoremi:
Mesleği Avukatlık olan Fermat, arada bir matematikle de ilgilenirdi. Ama ne ilgilenmek. Aşağıdaki teorem, onun eseri. 1665 yılında 64 yaşında ölen Fermat'ın aşağıdaki teoremi, hâlâ ispatlanamadı. Bu problem üzerinde yıllarca çalışan ünlü alman matematikçi Wolfskehl, 1908 yılında öldüğünde, vasiyet olarak 100bin mark bıraktı. Hem de bu problemi yüzyıl içinde çözecek ilk kişiye verilmek üzere!
Teorem şöyle:
n>2 ve a, b ve c tamsayı olmak üzere
an + bn= cn çözümü olmadığını ispatlayın.
Fermat bu teoremi yazarken kullandığı kağıdın altında çok az yer kaldığı için cevabı yazamadığını, halbuki çok güzel bir ispatı olduğunu yazmıştır. (Belki Fermat ta cevabı bilmiyordu)
Bir hatırlatma: Eğer rastgele n=54179653 sayısını formüle uygulayıp eşitliği sağlamadığını göstermediyseniz, bu sayının hâlâ doğru olma şansı var demektir.
İlginç Sayılar(2):
Üç basamaklı herhangi bir sayıyı iki kere yan yana yazarak elde ettiğimiz yeni sayı, kesinlikle 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 sayılarına kalansız olarak bölünür(neden?).
Örnek: 831831
831831 / 7 = 118833
831831 / 11 = 75621
831831 / 13 = 63987
831831 / 77 = 10803
831831 / 91 = 9141
831831 / 143 = 5817
831831 / 1001 = 831
Sihirli Kareler:
3 x 3: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden üç karenin toplamı, 15.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
4 x 4: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden dört karenin toplamı, 34.
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
5 x 5: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden beş karenin toplamı, 65.
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
İlginç Sayılar(3):
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
Teorem:
Bütün kare sayılar, 1'den başlamak üzere sırasıyla tek tamsayıların toplamı olarak yazılabilir.
Örnekler:
5²=25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
11² = 121
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121
Üçgen Sayılar:
1'den başlamak üzere kendisinden önceki tüm sayıların topl***** karşılık gelen sayıların dizisidir.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... pozitif doğal sayılar ise, üçgen sayılar:
1, 3(1+2), 6(1+2+3), 10(1+2+3+4), 15(1+2+3+4+5),... üçgen sayılardır. Yani:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...
Pascal Üçgeni:
Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.
Pascal üçgeninin bazı özellikleri:
• Kenarlar "1"den oluşur
• ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir.
• Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...)
• Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir.
(Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)
• Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 20, 21, 22, 23 ,24 ,...
(Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=24 )
• Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir.
( Örnek: (a+b)3=1a3+3ab2+3a2b+1b3)
Teorem:
Bütün sayılar 2'nin üsleri toplamı (tekrarsız) olarak yazılabilir.
Örnekler:
12 = 23 + 22
12 = 8 + 4
45 = 25 + 23 + 22 + 20
45 = 32 + 8 + 4 + 1
İlginç Sayılar(4):
12 x 42 = 21 x 24
23 x 96 = 32 x 69
24 x 84 = 42 x 48
13 x 62 = 31 x 26
46 x 96 = 64 x 69
Fibonacci Dizisi:
1'den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının topl***** karşılık gelen sayıların dizisidir.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...ise, fibonacci dizisi:
1, 1(0+1), 2(1+1), 3(1+2), 5(2+3), 8(3+5), 13(5+8),... yani:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
Fibonacci dizisinin kullanıldığı pekçok yerden biri de "Şekil Paradoksları"ndaki üçgenli ve kareli sorulardır.
İlginç Sayılar(5):
3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37= 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999
e Sayısı:
1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ... + (1/n!) serisinin toplamı "e" sayısını verir. Yaklaşık değeri:
e = 2.71828182...dir. (e sabit sayısının kullanıldığı yerler ayrıca anlatılacaktır)
(Sonsuz):
, sadece matematikçilerin değil, düşünen herkesin ilgisini ve merakını çekmiştir. 'u sayı olarak düşünürsek; aklımızı zorlayıp "en büyük sayı"ya ulaştığımızı kabul edelim. O sayının mutlaka 1 fazlası olacağından yeni sayılar elde ederiz.
Meselâ sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında sonsuz adet reel sayı vardır. 0 ile 10 arasında da sonsuz adet sayı olduğuna göre bu iki sonsuz da birbirine eşit olamaz. Bu yüzden matematikte "/" ifadesi tanımsızdır. Aynı şekilde 1 ifadesi de henüz tanımlanamamıştır. Hâlbuki 1'in tüm üsleri 1' eşit olmalıdır.
Kâinatta kaç adet "atom" olduğu sorulsa kaç derdiniz? Herhalde aklınıza gelebilecek en büyük sayıyı söylersiniz. Sizce 1073 nasıl bir sayı? Büyük bir ihtimalle sizin tahmininizden küçük. Ama tüm kâinattaki gezegenlerin, yıldızların, asteroidlerin ... atom sayısı işte bu kadar. (Araştırmalar sonucundaki tahmini sayı).
Kâinatın sonu neresi? Herhalde kâinat da bir yerde bulunuyor. Ayrıca genişlediği (şişen bir balon gibi) ilmî bir gerçek. Nerede, neyin içinde, nereleri kapla***** genişliyor? Bundan sonrası ancak tahmin edilebilir. Şimdilik bunlar sır.
Şimdi 'un ne kadar büyük olduğu daha iyi anlaşılıyor (veya anlaşılamıyor) değil mi?
İlginç Sayılar(6):
(0 x 9) + 8 = 8
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8888
(9876 x 9) + 4 = 88888
(98765 x 9) + 3 = 888888
(987654 x 9) + 2 = 8888888
(9876543 x 9) + 1 = 88888888
(98765432 x 9) + 0 = 888888888
(987654321 x 9) - 1 = 8888888888
