ßLaCK.AnqeL
Bayan Üye
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
1) 1)
KOSİNÜS VE SİNÜS FONKSİYONLARI:
Yukarıda ki birim çemberde x uzunluğundaki pozitif yönlü yayın başlangıç noktası A, bitim noktası P olsun.
• • P noktası apsisine x’in kosinüsü denir ve Cos x = a şeklinde gösterilir.
• • P noktasının ordinatına x’in sinüsü denir ve Sin x = b şeklinde gösterilir.
Burada x gerçel sayısını Cos x ’e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu, x gerçel sayısını Sin x ’e dönüştüren fonksiyona da sinüs fonksiyonu denir.
x € R için; Cos ; x à Cos x
Sin ; x à Sin x
x € R ve P (a,b) birim çember üzerinde olduğundan sinüs kosinüs fonksiyonlarının tanım ve değer kümeleri
Cos : R à [-1,1], f (x)= Cos x
Sin : R à [-1,1], f (x)= Sin x
Birim çember üzerindeki x açısına karşı gelen P (a,b) noktasının koordinatlarının sırasıyla kosinüs ve sinüs fonksiyonlarını göstermelerinden dolayı Ox eksenine kosinüs, Oy eksenine sinüs ekseni denir.
SİNÜS VE KOSİNÜS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ
1) 1) P (a,b) için a2+b2=1 olduğundan
Sin2x+Cos2x=1
Buradan ;
Sin x = 1-Cos2x
Cos x = 1-Sin2x
İfadeleri ile yazılabilir. Ayrıca x açısına göre, sinüs ve kosinüs ‘ün negatif olduğu bölgelerdeki işaretleri de unutmamak gerekir.
2) 2) Birm çemberde de görüldüğü gibi ;
-1<a<1 à -1<cosx<1
-1<b<1 à -1<sinx<1
bunları şöyle de gösterebiliriz:
|cosx| < 1 ve |sinx| < 1
3) 3) k € z olmak üzere ölçüsü x ve x+k.2)( olan açıların birim çember üzerindeki bitim kenarı aynıdır. O halde;
Sin (x+k.2)( ) = sin x
Cos(x+k.2)( )=cos x dir.
O halde sinüs ve kosinüs fonksiyonları periyodiktir ve periyotları 2)( dir.
2)TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONLARI
Yukarıda birim çembere A ve B noktalarından teğetler çizilmiştir.
Bir Q uzunluğundaki yayın başlangıç noktası A, bitim noktası P olsun.
OP doğrusu birim çembere A’ dan çizilen teğeti T(1,n), B’den çizilen teğeti D(m,1) noktasında kessin;
*T(1,n) noktasının ordinatına Q açısının tanjantı denir ve tanQ=n şeklinde gösterilir.
*D(m,1) noktasının apsisine Q açısının cotanjantı denir ve cotQ=m şeklinde gösterilir.
Birim çembere A noktasından çizilen teğete tanjant ekseni, B noktasından çizilen ise cotanjant ekseni denir.
Bu tanıma göre k€Z olmak üzere )(/2+k)( sayılarının tanjantları ve k)(sayılarının cotanjantları tanımsızdır.
O halde tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanım ve değer kümeleri:
Tan : R— { )(/2+k)(, k € Z}àR,
f(x)=tanx
Cotan : R— {k)(, k € Z}àR dir
f(x)=cotan x dir.
TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ
1)
Yukarıdaki şekilde birim çember ve P(a,b), T(1,n), D(m,1) noktaları verilmiştir. Burada
*OPH üçgeni ve OTA üçgeni benzer üçgenler olup bu benzerlikten,
|PH| / |TA| = |OH| / |OA| à b / n = a / 1
à n = b / a olur. Buradan;
tan Q = sin Q / cos Q dir.
OPH ve ODB üçgenleri benzer üçgenler olup bu benzerlikten,
|PH| / |BO| = |OH| / |DB| à b / 1 = a / m
à m = a / b olur. Buradan;
Cotan Q = cos Q / sin Q dır.
2) 2) Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirinin çarpmaya göre tersidir.
Tan = 1 / cotan Q , cotan Q = 1 / tan Q
olup tan Q . cotan Q = 1
3) 3) Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının değer kümeleri [-1,1] aralığında olmasına rağmen tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının değer kümesi tüm reel sayılardır.
SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI
Yukarıdaki şekilde birim çemberim dörtte birlik parçası görülmektedir.
AP yayının esas ölçüsü x radyan ve P noktasından birim çembere çizilen teğet Ox eksenini C ve Oy eksenini D noktasından kessin.
• • C noktasının apsisine x açısının sekantı denir ve sec x şeklinde gösterilir. X gerçel sayısını sec x’ e dönüştüren fonksiyona da sekant fonksiyonu adı verilir.
• • D noktasının ordinatına da x açısının kosekantı denir ve cosec x şeklinde gösterilir.
X gerçel sayısını cosec x’ e dönüştüren fonksiyona da kosekant fonksiyonu denir.
Cos x’ in çarpmaya göre tersi x’ in sekantına eşittir.
ve sec x = 1 / cos x dir.
Sin x’ in çarpmaya göre tersi x’ in sekantına eşittir.
ve cosec x = 1 / sin x dir.
Bu ifadeleri daha açık biçimde göstermek gerekirse;
OCH ~ OPH à|OH| / |OP| = |OP| / |OC|
à a / 1 = 1 / |OC| à |OC| = 1 / a
à |OC| = 1 / cos x = sec x
ODP ~ OPH à |PH| / |OP| = |OP| / |OD|
à b / 1 = 1 / |OD| à |OD| = 1 / b
à |OD| = 1/ sin x = cosec x
ÖRNEK: sin x . cotan x = ?
sin x .cot x = sin x . cos x / sin x = cos x bulunur.
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
Dik üçgende 0<@<90
Karşı dik kenar uzunluğu
Sin @ = --------------------------------
Hipotenüs uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
Cotan @ = --------------------------------
Hipotenüs uzunluğu
Karşı dik kenar uzunluğu
Tan @ = ----------------------------------
Komşu dik kenar uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
Cot @ = ----------------------------------
Karşı dik kenar uzunluğu
TRİGONOMETRİK BÖLGE
Yukarıdaki şekilde dört bölgeden herhangi birindeki açının sinüs veya kosinüsünün o bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işareti ile aynıdır.
tan x = sin x / cos x
cotan x = cos x / sin x
olduğundan tanjant ve kotanjantın işaretleri sinüs ve kosinüsün işaretleri oranıdır.
Örneğin: II. bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir. Bunların birbirine bölümü de negatif olduğundan tanjant ve kotanjantın işaretleri negatiftir.
Birinci Bölge (0 < x < )( / 2 )
0 ile 90 derecenin bulunduğu bölgeye koordinat sisteminde birinci bölge dendiğini biliyoruz. Bu bölgedeki 0,30,45,60 ve 90 derecelik açıların trigonometrik değerlerinin bilinmesi gerekir. Bu değerleri bulmak için birim çember, birim üçgen ve birim kareden yararlanabiliriz.
I) Birim çember
Yukarıdaki birim çemberde 0 derecelik açının birim çemberi kestiği nokta A(1,0) olduğundan,
cos 0 = 1 sin 0 = 0 olup
tan 0 = sin 0 / cos 0 = 0 / 1 = 0
cotan 0 = cos 0 / sin 0 = 1 / 0 = tanımsız
90 derecelik yayın birim çemberi kestiği nokta B(0,1) olduğundan;
cos 90 = 0 sin 90 = 1
tan 90 = sin 90 / cos 90 = 1 / 0 = tanımsız
cotan 90 = cos 90 / sin 90 = 0 / 1 = 0 dır.
II) Birim kare
Bir kenarı bir birim olan kareye birim kare denir. Bu karenin köşeleri 2 birim olup köşegen açıyı iki eşit parçaya böler, meydana gelen ABC dik üçgende;
Sin 45 = 1 / 2
Cos 45 = 1 / 2
Tan 45 = 1 , cotan 45 = 1 dir.
III) Birim üçgen
Bir kenarı bir birim olan eşkenar üçgene birim üçgen denir. Bu üçgende [AH] yüksekliği aynı zamanda açı ortay olup, meydana gelen AHC dik üçgeninde;
Sin 30 = 1 / 2 , cos 30 = 3 / 2
Tan 30 = 1 / 3 cotan 30 = 3
Sin 60 = 3 / 2 cos 60 = 1 / 2
Tan 60 = 3 cotan 60 = 1 / 3
İkinci Bölge ( )( / 2 < x < )( )
İkinci bölgedeki bir açının trigonometrik değerleri bulunurken, önce bölgedeki işareti tespit edilir sonra verilen açı ile 180 in farkının trigonometrik değeri yazılır.
Cos 120 = - cos ( )(-120) = -cos 60 = -1 / 2
Sin 150 = sin ( )( - 150) = sin 30 = 1 / 2
Tan 135 = -tan ( )(-135) = -tan 45 = -1
Üçüncü Bölge ( )( < x < 3)( / 2 )
Sin 210 = sin ( )( + 30) = -sin30= - 1 / 2
Tan 225 = tan ( )( + 45 ) = tan 45 = 1
Cos 225 = cos ( )( + 45) = - cos 45 = - 1 / 2
Yukarıdaki şekilde P( cos Q , sin Q ) olup )( + Q nın bitim noktası P1 = (- cos Q, -sin Q) olduğundan üçüncü bölgede aşağıdaki trigonometrik özellikleri yazabiliriz.
Sin ( )( + Q) = -sin Q
cos ( )( + Q) = -cos Q
tan ( )( + Q) = tan Q
cotan ( )( + Q) = cotan Q
Dördüncü Bölge
Dördüncü bölgedeki bir açının trigonometrik değeri bulunurken önce işareti tespit edilir. Sonra 360 derece ile verilen açının farkının trigonometrik değeri yazılır.
Sin 300 = -sin (2 )( - 300) = -sin 60) = -3 / 2
Cos 315 = cos ( 2 )( - 315 ) = cos 45 = 2 / 2
Tan 315 = -tan (2 )( - 315 ) = -tan 45 = - 1
Dördüncü bölgede – Q nın bitim noktası, P1 ( cos Q, -sin Q) olduğundan aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri yazabiliriz.
Sin (-Q) = -sin Q
Cos (-Q) = cos Q
Tan (-Q) = -tan Q
Cotan (-Q) = -cotan Q dır.
NOT: Eğer verilen açı 360 dereceden büyük ise 360 ‘a bölünür ve kalan esas açı olduğundan kalanın trigonometrik değerini buluruz.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları reel sayılar kümesinden [-1,1] aralığında tanımlıdır. Ayrıca bu fonksiyonların periyodu 2)( ‘dir. Bu sebeple bu fonksiyonlar 2)( uzunluğundaki aralıklarla aynen tekrarlanır.
X, [0, )(/2]
Arlığında artan değerler alırken, sin x = |ON| artan, cos x = |OM| azalan değerler alır.
y = cotan x fonksiyonun grafiği analitik düzlemde K={(x, cotan x):x € R , x= k)(, k € Z} kümesine karşılık gelen noktalardan oluşur.
X, [0, )( /2] aralığında artan değerler alırken
Tan x = |AN| artan, cotan x = |BM| azalan değerler alır.
1) 1)
KOSİNÜS VE SİNÜS FONKSİYONLARI:
Yukarıda ki birim çemberde x uzunluğundaki pozitif yönlü yayın başlangıç noktası A, bitim noktası P olsun.
• • P noktası apsisine x’in kosinüsü denir ve Cos x = a şeklinde gösterilir.
• • P noktasının ordinatına x’in sinüsü denir ve Sin x = b şeklinde gösterilir.
Burada x gerçel sayısını Cos x ’e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu, x gerçel sayısını Sin x ’e dönüştüren fonksiyona da sinüs fonksiyonu denir.
x € R için; Cos ; x à Cos x
Sin ; x à Sin x
x € R ve P (a,b) birim çember üzerinde olduğundan sinüs kosinüs fonksiyonlarının tanım ve değer kümeleri
Cos : R à [-1,1], f (x)= Cos x
Sin : R à [-1,1], f (x)= Sin x
Birim çember üzerindeki x açısına karşı gelen P (a,b) noktasının koordinatlarının sırasıyla kosinüs ve sinüs fonksiyonlarını göstermelerinden dolayı Ox eksenine kosinüs, Oy eksenine sinüs ekseni denir.
SİNÜS VE KOSİNÜS FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ
1) 1) P (a,b) için a2+b2=1 olduğundan
Sin2x+Cos2x=1
Buradan ;
Sin x = 1-Cos2x
Cos x = 1-Sin2x
İfadeleri ile yazılabilir. Ayrıca x açısına göre, sinüs ve kosinüs ‘ün negatif olduğu bölgelerdeki işaretleri de unutmamak gerekir.
2) 2) Birm çemberde de görüldüğü gibi ;
-1<a<1 à -1<cosx<1
-1<b<1 à -1<sinx<1
bunları şöyle de gösterebiliriz:
|cosx| < 1 ve |sinx| < 1
3) 3) k € z olmak üzere ölçüsü x ve x+k.2)( olan açıların birim çember üzerindeki bitim kenarı aynıdır. O halde;
Sin (x+k.2)( ) = sin x
Cos(x+k.2)( )=cos x dir.
O halde sinüs ve kosinüs fonksiyonları periyodiktir ve periyotları 2)( dir.
2)TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONLARI
Yukarıda birim çembere A ve B noktalarından teğetler çizilmiştir.
Bir Q uzunluğundaki yayın başlangıç noktası A, bitim noktası P olsun.
OP doğrusu birim çembere A’ dan çizilen teğeti T(1,n), B’den çizilen teğeti D(m,1) noktasında kessin;
*T(1,n) noktasının ordinatına Q açısının tanjantı denir ve tanQ=n şeklinde gösterilir.
*D(m,1) noktasının apsisine Q açısının cotanjantı denir ve cotQ=m şeklinde gösterilir.
Birim çembere A noktasından çizilen teğete tanjant ekseni, B noktasından çizilen ise cotanjant ekseni denir.
Bu tanıma göre k€Z olmak üzere )(/2+k)( sayılarının tanjantları ve k)(sayılarının cotanjantları tanımsızdır.
O halde tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanım ve değer kümeleri:
Tan : R— { )(/2+k)(, k € Z}àR,
f(x)=tanx
Cotan : R— {k)(, k € Z}àR dir
f(x)=cotan x dir.
TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ
1)
Yukarıdaki şekilde birim çember ve P(a,b), T(1,n), D(m,1) noktaları verilmiştir. Burada
*OPH üçgeni ve OTA üçgeni benzer üçgenler olup bu benzerlikten,
|PH| / |TA| = |OH| / |OA| à b / n = a / 1
à n = b / a olur. Buradan;
tan Q = sin Q / cos Q dir.
OPH ve ODB üçgenleri benzer üçgenler olup bu benzerlikten,
|PH| / |BO| = |OH| / |DB| à b / 1 = a / m
à m = a / b olur. Buradan;
Cotan Q = cos Q / sin Q dır.
2) 2) Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirinin çarpmaya göre tersidir.
Tan = 1 / cotan Q , cotan Q = 1 / tan Q
olup tan Q . cotan Q = 1
3) 3) Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının değer kümeleri [-1,1] aralığında olmasına rağmen tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının değer kümesi tüm reel sayılardır.
SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI
Yukarıdaki şekilde birim çemberim dörtte birlik parçası görülmektedir.
AP yayının esas ölçüsü x radyan ve P noktasından birim çembere çizilen teğet Ox eksenini C ve Oy eksenini D noktasından kessin.
• • C noktasının apsisine x açısının sekantı denir ve sec x şeklinde gösterilir. X gerçel sayısını sec x’ e dönüştüren fonksiyona da sekant fonksiyonu adı verilir.
• • D noktasının ordinatına da x açısının kosekantı denir ve cosec x şeklinde gösterilir.
X gerçel sayısını cosec x’ e dönüştüren fonksiyona da kosekant fonksiyonu denir.
Cos x’ in çarpmaya göre tersi x’ in sekantına eşittir.
ve sec x = 1 / cos x dir.
Sin x’ in çarpmaya göre tersi x’ in sekantına eşittir.
ve cosec x = 1 / sin x dir.
Bu ifadeleri daha açık biçimde göstermek gerekirse;
OCH ~ OPH à|OH| / |OP| = |OP| / |OC|
à a / 1 = 1 / |OC| à |OC| = 1 / a
à |OC| = 1 / cos x = sec x
ODP ~ OPH à |PH| / |OP| = |OP| / |OD|
à b / 1 = 1 / |OD| à |OD| = 1 / b
à |OD| = 1/ sin x = cosec x
ÖRNEK: sin x . cotan x = ?
sin x .cot x = sin x . cos x / sin x = cos x bulunur.
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
Dik üçgende 0<@<90
Karşı dik kenar uzunluğu
Sin @ = --------------------------------
Hipotenüs uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
Cotan @ = --------------------------------
Hipotenüs uzunluğu
Karşı dik kenar uzunluğu
Tan @ = ----------------------------------
Komşu dik kenar uzunluğu
Komşu dik kenar uzunluğu
Cot @ = ----------------------------------
Karşı dik kenar uzunluğu
TRİGONOMETRİK BÖLGE
Yukarıdaki şekilde dört bölgeden herhangi birindeki açının sinüs veya kosinüsünün o bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işareti ile aynıdır.
tan x = sin x / cos x
cotan x = cos x / sin x
olduğundan tanjant ve kotanjantın işaretleri sinüs ve kosinüsün işaretleri oranıdır.
Örneğin: II. bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir. Bunların birbirine bölümü de negatif olduğundan tanjant ve kotanjantın işaretleri negatiftir.
Birinci Bölge (0 < x < )( / 2 )
0 ile 90 derecenin bulunduğu bölgeye koordinat sisteminde birinci bölge dendiğini biliyoruz. Bu bölgedeki 0,30,45,60 ve 90 derecelik açıların trigonometrik değerlerinin bilinmesi gerekir. Bu değerleri bulmak için birim çember, birim üçgen ve birim kareden yararlanabiliriz.
I) Birim çember
Yukarıdaki birim çemberde 0 derecelik açının birim çemberi kestiği nokta A(1,0) olduğundan,
cos 0 = 1 sin 0 = 0 olup
tan 0 = sin 0 / cos 0 = 0 / 1 = 0
cotan 0 = cos 0 / sin 0 = 1 / 0 = tanımsız
90 derecelik yayın birim çemberi kestiği nokta B(0,1) olduğundan;
cos 90 = 0 sin 90 = 1
tan 90 = sin 90 / cos 90 = 1 / 0 = tanımsız
cotan 90 = cos 90 / sin 90 = 0 / 1 = 0 dır.
II) Birim kare
Bir kenarı bir birim olan kareye birim kare denir. Bu karenin köşeleri 2 birim olup köşegen açıyı iki eşit parçaya böler, meydana gelen ABC dik üçgende;
Sin 45 = 1 / 2
Cos 45 = 1 / 2
Tan 45 = 1 , cotan 45 = 1 dir.
III) Birim üçgen
Bir kenarı bir birim olan eşkenar üçgene birim üçgen denir. Bu üçgende [AH] yüksekliği aynı zamanda açı ortay olup, meydana gelen AHC dik üçgeninde;
Sin 30 = 1 / 2 , cos 30 = 3 / 2
Tan 30 = 1 / 3 cotan 30 = 3
Sin 60 = 3 / 2 cos 60 = 1 / 2
Tan 60 = 3 cotan 60 = 1 / 3
İkinci Bölge ( )( / 2 < x < )( )
İkinci bölgedeki bir açının trigonometrik değerleri bulunurken, önce bölgedeki işareti tespit edilir sonra verilen açı ile 180 in farkının trigonometrik değeri yazılır.
Cos 120 = - cos ( )(-120) = -cos 60 = -1 / 2
Sin 150 = sin ( )( - 150) = sin 30 = 1 / 2
Tan 135 = -tan ( )(-135) = -tan 45 = -1
Üçüncü Bölge ( )( < x < 3)( / 2 )
Sin 210 = sin ( )( + 30) = -sin30= - 1 / 2
Tan 225 = tan ( )( + 45 ) = tan 45 = 1
Cos 225 = cos ( )( + 45) = - cos 45 = - 1 / 2
Yukarıdaki şekilde P( cos Q , sin Q ) olup )( + Q nın bitim noktası P1 = (- cos Q, -sin Q) olduğundan üçüncü bölgede aşağıdaki trigonometrik özellikleri yazabiliriz.
Sin ( )( + Q) = -sin Q
cos ( )( + Q) = -cos Q
tan ( )( + Q) = tan Q
cotan ( )( + Q) = cotan Q
Dördüncü Bölge
Dördüncü bölgedeki bir açının trigonometrik değeri bulunurken önce işareti tespit edilir. Sonra 360 derece ile verilen açının farkının trigonometrik değeri yazılır.
Sin 300 = -sin (2 )( - 300) = -sin 60) = -3 / 2
Cos 315 = cos ( 2 )( - 315 ) = cos 45 = 2 / 2
Tan 315 = -tan (2 )( - 315 ) = -tan 45 = - 1
Dördüncü bölgede – Q nın bitim noktası, P1 ( cos Q, -sin Q) olduğundan aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri yazabiliriz.
Sin (-Q) = -sin Q
Cos (-Q) = cos Q
Tan (-Q) = -tan Q
Cotan (-Q) = -cotan Q dır.
NOT: Eğer verilen açı 360 dereceden büyük ise 360 ‘a bölünür ve kalan esas açı olduğundan kalanın trigonometrik değerini buluruz.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları reel sayılar kümesinden [-1,1] aralığında tanımlıdır. Ayrıca bu fonksiyonların periyodu 2)( ‘dir. Bu sebeple bu fonksiyonlar 2)( uzunluğundaki aralıklarla aynen tekrarlanır.
X, [0, )(/2]
Arlığında artan değerler alırken, sin x = |ON| artan, cos x = |OM| azalan değerler alır.
y = cotan x fonksiyonun grafiği analitik düzlemde K={(x, cotan x):x € R , x= k)(, k € Z} kümesine karşılık gelen noktalardan oluşur.
X, [0, )( /2] aralığında artan değerler alırken
Tan x = |AN| artan, cotan x = |BM| azalan değerler alır.