JaKaBoO
Kayıtlı Üye
FONKSİYON
TANIM:
A ve B gibi boş olmayan iki küme için tanımlanan bir bağıntı f olsun. f bağıntısı A nın her elemanı B nin yalnız bir elemanına eşliyor ve A da eşlenmeyen eleman kalmıyorsa A dan B ye tanımlanan bu f bağıntısına, A dan B ye fonksiyon denir.
f
A B
xA, yB ve A dan B ye fonksiyonu x’i y’ye eşliyorsa
f =A B
x f(x)=y şeklinde gösterilir.
A = Tanım kümesi
B= Değer kümesi
x’e değişken, y’ye (y=f(x)) x’in f fonksiyonuna göre görüntüsü yada f fonksiyonunun x için aldığı değer denir.
A tanım kümesinin tüm elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntülerinin kümesine A nın görüntü kümesi denir. Ve f(A) ile gösterilir. f(A)B’ dir.
ÖRNEK: A={-3,-1,0,2,3}
F=A R fonksiyonu
F{(-3,5),(-1,2),(0,3),(2,5),(3,-4)} olarak veriliyor.
F(-3)+f(0)+f(3) toplamı nedir?
A)0 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM:
f(-3)= 5 f(-3)+f(0)+f(3)=5+3-4=4 olur.
f(0)= 3 olduğundan
f(3)=-4 Cevap
FONKSİYON TÜRLERİ:
BİRE BİR FONKSİYON
TANIM:
A dan B ye bir f fonksiyonu tanımlanmış olsun A kümesinin birbirinden farklı her x1 ve x2 elemanları için; f(x1)f (x2) ise f fonksiyonuna, bire bir fonksiyon denir. Yani A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Kısacası
x1 ,x2 A için, x1 x2 f(x1) f(x2) ya da f(x)1 = f(x2) x1 = x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
A f B f
A A B
f: A B birebir fonksiyon g: A B birebir fonksiyon
y
h(x)=y=2x
4
3
2
1
0 1 2 3 x
-1
-1
-2
h
h:R R, h(x)=2x
bire bir fonksiyondur
ÖRTEN FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu verilsin. f(A)=B ise f ye örten fonksiyon denir. Değer kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyorsa, f fonksiyonu örtendir. Örten fonksiyonda
y B için f(x)=y olacak şekilde en az bir xA vardır.
f:A B fonksiyonun örten olabilmesi için s(A) s(B) olmalıdır.
A f B
f:A B örten fonksiyon
İÇİNE FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu için f(A)B ise yani, değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa, f fonksiyonuna, içine fonksiyon denir.
A g B
g:A B içine fonksiyon
BİRE BİR VE İÇİNE FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu hem birebir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna, bire bir ve iççine fonksiyon denir.
A f B f:A B fonksiyonunda farklı
elemanların görüntüleri de farklı
ve f(A)B olduğundan, f fonksiyonu
birebir ve içine fonksiyondur.
BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu hem birebir hem de örten fonksiyon ise f fonksiyonuna, bire bir ve örten fonksiyon denir.
A g B
g:A B fonksiyonunda farklı
elemanların görüntüleri de farklı ve
g(A)=B olduğundan, g fonksiyonu bire bir ve
örten fonksiyondur.
SABİT FONSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu (x)A için f(x)=c oluyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
A f B
TERS FONKSİYON
A f B Yandaki şemada A dan b ye verilen f
fonksiyonunun
g={(a,1),(b,3),(c,2),(d,4)} olduğunu söyleyebiliriz.
g fonksiyonu bir bağıntı olduğu için tersi vardır ve
g-1 ={(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)} dir.
TANIM:
f, A dan B ye bire bir ve örten fonksiyon ise f-1 bağıntısı da B den A ya bir fonksiyondur. f-1 fonksiyonuna f in ters fonksiyonu denir.
A B dir.
CEVAPLI SORULAR
1) f A dan B ye bir fonksiyon, x x2 fonksiyonunun bire bir midir?
CEVAP:
f(-2) = (-2)2 = 4
f(2) =22 = 4 olduğundan, -2 2 f(-2) = f(2) olur yani verilen fonksiyon bire bir değildir.
2) A ={ -1, 0,1 } ve b={ 0,1 }kümeleri için f A dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2
fonksiyonunun örten olmadığını araştırınız.
CEVAP:
f(-1) = 1
f(0) = 0 f(A) = {0,1} dır.
f(1) =1
f(A) = B olduğundan f örtendir.
3) A = {-1, 0,1,2,3} ve B = {0,1,2,34,5,10} kümeleri veriliyor. f(x) = x2 + 1 fonksiyonu içine bir fonksiyon mudur? ( f; A dan B ye bir fonksiyon)
CEVAP:
f(-1) = (-1)2 + 1 = 2
f(0) = 02 +1 = 1
f(1) = 12 + 1 = 2
f(2) = 22 + 1 = 5
f(3) = 32 + 1 = 10
f(A) = { 1,2,5,10} B olduğundan, f içine fonksiyondur.
4) f : R [2 + ] f(x) = x2 + 2 bire bir ve örten midir? x 0
CEVAP:
f(0) = 02 +2 = 2 Örtendir -1 1
x1 x2 için f(x1) f(x2) f(-1) = f(1)
f(-1) = (-1)2 + 2 = 3
f(1) = 12 +2 = 3 Birebir değil
5) f : R R f(x) = ( a-2 ) . x2 + ( b+3 )x + 7 sabit fonksiyon ise a – b +f(x)=?
CEVAP:
f(x) = c olduğundan
f(x) = ( a - 2 ) . x2 + ( b + 3 ) . x +7
0 0
a–2 = 0 b+3 = 0
a = 2 b = -3
f(x) = 7 a + b + f(x) = 2+3+7 = 12
6) f :R R , f(x) = x3 – 4x +2 olduğuna göre f-1(2) nedir?
CEVAP:
f-1(2) = x f(x) = 2
x3 – 4x +2 = 2
x3 – 4x = 0
x( x2 – 4 ) = 0
x = 0, x = 2, x = -2
f-1(2) = { -2, 0 ,2 } bulunur.
7) f : R-{-1} R, f(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre, f-1(6) nedir?
CEVAP:
f-1(6) = x f(x) = 6
x2 –3x + 2 = 6
x2 –3x –4 = 0
( x-4 ) (x + 1 ) = 0
x = 4, x = -1
x = -1 sayısı tanım kümesinin elemanı olmadığı için f-1(6) = 4
TANIM:
A ve B gibi boş olmayan iki küme için tanımlanan bir bağıntı f olsun. f bağıntısı A nın her elemanı B nin yalnız bir elemanına eşliyor ve A da eşlenmeyen eleman kalmıyorsa A dan B ye tanımlanan bu f bağıntısına, A dan B ye fonksiyon denir.
f
A B
xA, yB ve A dan B ye fonksiyonu x’i y’ye eşliyorsa
f =A B
x f(x)=y şeklinde gösterilir.
A = Tanım kümesi
B= Değer kümesi
x’e değişken, y’ye (y=f(x)) x’in f fonksiyonuna göre görüntüsü yada f fonksiyonunun x için aldığı değer denir.
A tanım kümesinin tüm elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntülerinin kümesine A nın görüntü kümesi denir. Ve f(A) ile gösterilir. f(A)B’ dir.
ÖRNEK: A={-3,-1,0,2,3}
F=A R fonksiyonu
F{(-3,5),(-1,2),(0,3),(2,5),(3,-4)} olarak veriliyor.
F(-3)+f(0)+f(3) toplamı nedir?
A)0 B)2 C)3 D)4 E)5
ÇÖZÜM:
f(-3)= 5 f(-3)+f(0)+f(3)=5+3-4=4 olur.
f(0)= 3 olduğundan
f(3)=-4 Cevap
FONKSİYON TÜRLERİ:
BİRE BİR FONKSİYON
TANIM:
A dan B ye bir f fonksiyonu tanımlanmış olsun A kümesinin birbirinden farklı her x1 ve x2 elemanları için; f(x1)f (x2) ise f fonksiyonuna, bire bir fonksiyon denir. Yani A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Kısacası
x1 ,x2 A için, x1 x2 f(x1) f(x2) ya da f(x)1 = f(x2) x1 = x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
A f B f
A A B
f: A B birebir fonksiyon g: A B birebir fonksiyon
y
h(x)=y=2x
4
3
2
1
0 1 2 3 x
-1
-1
-2
h
h:R R, h(x)=2x
bire bir fonksiyondur
ÖRTEN FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu verilsin. f(A)=B ise f ye örten fonksiyon denir. Değer kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyorsa, f fonksiyonu örtendir. Örten fonksiyonda
y B için f(x)=y olacak şekilde en az bir xA vardır.
f:A B fonksiyonun örten olabilmesi için s(A) s(B) olmalıdır.
A f B
f:A B örten fonksiyon
İÇİNE FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu için f(A)B ise yani, değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa, f fonksiyonuna, içine fonksiyon denir.
A g B
g:A B içine fonksiyon
BİRE BİR VE İÇİNE FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu hem birebir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna, bire bir ve iççine fonksiyon denir.
A f B f:A B fonksiyonunda farklı
elemanların görüntüleri de farklı
ve f(A)B olduğundan, f fonksiyonu
birebir ve içine fonksiyondur.
BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu hem birebir hem de örten fonksiyon ise f fonksiyonuna, bire bir ve örten fonksiyon denir.
A g B
g:A B fonksiyonunda farklı
elemanların görüntüleri de farklı ve
g(A)=B olduğundan, g fonksiyonu bire bir ve
örten fonksiyondur.
SABİT FONSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu (x)A için f(x)=c oluyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
A f B
TERS FONKSİYON
A f B Yandaki şemada A dan b ye verilen f
fonksiyonunun
g={(a,1),(b,3),(c,2),(d,4)} olduğunu söyleyebiliriz.
g fonksiyonu bir bağıntı olduğu için tersi vardır ve
g-1 ={(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)} dir.
TANIM:
f, A dan B ye bire bir ve örten fonksiyon ise f-1 bağıntısı da B den A ya bir fonksiyondur. f-1 fonksiyonuna f in ters fonksiyonu denir.
A B dir.
CEVAPLI SORULAR
1) f A dan B ye bir fonksiyon, x x2 fonksiyonunun bire bir midir?
CEVAP:
f(-2) = (-2)2 = 4
f(2) =22 = 4 olduğundan, -2 2 f(-2) = f(2) olur yani verilen fonksiyon bire bir değildir.
2) A ={ -1, 0,1 } ve b={ 0,1 }kümeleri için f A dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2
fonksiyonunun örten olmadığını araştırınız.
CEVAP:
f(-1) = 1
f(0) = 0 f(A) = {0,1} dır.
f(1) =1
f(A) = B olduğundan f örtendir.
3) A = {-1, 0,1,2,3} ve B = {0,1,2,34,5,10} kümeleri veriliyor. f(x) = x2 + 1 fonksiyonu içine bir fonksiyon mudur? ( f; A dan B ye bir fonksiyon)
CEVAP:
f(-1) = (-1)2 + 1 = 2
f(0) = 02 +1 = 1
f(1) = 12 + 1 = 2
f(2) = 22 + 1 = 5
f(3) = 32 + 1 = 10
f(A) = { 1,2,5,10} B olduğundan, f içine fonksiyondur.
4) f : R [2 + ] f(x) = x2 + 2 bire bir ve örten midir? x 0
CEVAP:
f(0) = 02 +2 = 2 Örtendir -1 1
x1 x2 için f(x1) f(x2) f(-1) = f(1)
f(-1) = (-1)2 + 2 = 3
f(1) = 12 +2 = 3 Birebir değil
5) f : R R f(x) = ( a-2 ) . x2 + ( b+3 )x + 7 sabit fonksiyon ise a – b +f(x)=?
CEVAP:
f(x) = c olduğundan
f(x) = ( a - 2 ) . x2 + ( b + 3 ) . x +7
0 0
a–2 = 0 b+3 = 0
a = 2 b = -3
f(x) = 7 a + b + f(x) = 2+3+7 = 12
6) f :R R , f(x) = x3 – 4x +2 olduğuna göre f-1(2) nedir?
CEVAP:
f-1(2) = x f(x) = 2
x3 – 4x +2 = 2
x3 – 4x = 0
x( x2 – 4 ) = 0
x = 0, x = 2, x = -2
f-1(2) = { -2, 0 ,2 } bulunur.
7) f : R-{-1} R, f(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre, f-1(6) nedir?
CEVAP:
f-1(6) = x f(x) = 6
x2 –3x + 2 = 6
x2 –3x –4 = 0
( x-4 ) (x + 1 ) = 0
x = 4, x = -1
x = -1 sayısı tanım kümesinin elemanı olmadığı için f-1(6) = 4
