sensiz olmaz
Kayıtlı Üye
İstatistikle önemli bir rol oynar. Özellikle iki amaçla kullanılır:
1 Gözlem sonucunda elde edilen serilerin yapılarını veya zaman serileri bahis konusu ise ana eğilimini (trendini) bir fonksiyonla temsil için. Mesela Türkiye'de elektrik üretiminin 1950 - 70 döneminde gelişmesi, veya gelir vergisi yükümlülerinin 1970 yılında gelir dilimlerine dağılımı hususunda böyle bir temsile ihtiyaç duyulabilir. Bu amaçla kullanıldığında en küçük kareler usulü gözlemleri eğriye indirgeme yollarından biri niteliğini taşır.
2 Bir olay (Y) ile onu etkileyen diğer bir olay veya olaylar (X, Z, ...) arasındaki ilişkiyi (örneğin talebin fiyat ve gelirle bağıntısını) regresyon denklemi adı verilen bir formül şeklinde ifade için Su halde en küçük kareler usulü korelasyon hesap*larının başlıca aracını teşkil eder.
Metodun esası, doneleri hem bünyelerine uygun hem de verdiği teorik değerler (Y') ile gerçek değerler (Y) arasındaki farkların kareleri toplamı
minimum
olan bir formülle göstermektir. En küçük kareler usulü olarak adlandırılması bununla ilgilidir.
Metod bağıntıların, yalnız, polinom şeklindeki yahu, herhangi bir dönüştürüm işlemi ile (bilhassa rakamları logaritmalarına çevirmek suretiyle) bu şekle getirilebilecek olan tek veya çok değişkenli fonksiyonlarla gösterilmesine yarar ve başka bir fonksiyona dayanılması gerektiğinde uygulanamaz Polinomlar:
Y= a + bX
Y= a + bX + cX2
Y= a + bX + cX2 + dX3+
şeklinde fonksiyonlardır. Korelasyon hesaplarında bu fonksiyonların sağ tarafında X den başka Y ve Z gibi diğer değişkenler de yer alabilir. Talep (Y) ile hem fiyat (X) hem de gelir (Z) arasında doğrusal bir bağıntı bulunduğunu gösteren
Y= a + bX + cZ
fonksiyonu buna örnektir. (Katlı korelasyonda bu gibi fonksiyonlaıdaki değişkenler ve sabitler için umumiyetle başka semboller kullanıldığı kaydedilmelidir )
Aslında polinom olmadıkları halde bir dönüştürüm işlemiyle polinom şeklini alan fonksiyonlara iisıei fonksiyon misal teşkil eder. Gerçekten
Y= a bx . log Y = log a + X log b olarak yazılabilir.
Bütün bu fonksiyonlarda Y bağımlı değişkeni X. Z. ... vs. bağımsız sayılan değişken veya değişkenleri gösterir. Dikkat edilecek bir nokta, müşahede ile elde edilmiş bir serinin matematik bir fonksiyona çevrilmesi halinde seri terimlerinin (zaman serilerinde: yıl ve ayların, bölünme serilerinde: şıkların veya sınıf ortalarının) X; frekans (Ni)veya miktarların ise Y sayılması gerektiğidir. Böylece sonuncu değerler seri terimlerinin fonksiyonu kabul edilmiş olurlar. Buna karşılık korelasyon hesaplarında hangi değişkenin bağımlı veya bağımsız sayılacağı çok kere belirli değildir.
Usul uygulanırken ilk iş, bağıntının söz konusu olan fonksiyonlardan hangisi ile temsil edileceğini (yani logaritmalara veya asli değerlere dayanan kaçıncı dereceden ve -korelasyonda- ne gibi değişkenleri ihtiva eden bir polinomla gösterileceğini) kararlaştırmaktır. Korelasyon araştırmalarında bu, esas tutulacak modelin seçilmesi demektir. Seçim için donelerin çizilecek grafiğini başka, maddelerde anlatılan şekillerde ve bazı teorik düşüncelere yer vermek suretiyle incelemek lazım gelir.
Esas tutulacak fonksiyon kararlaştırıldıktan sonra da bunun
S(Y Y')2 = minimum
koşulunu sağlıyacak olan sabit miktarlarını hesaplamak gerekir. İspat edilebilir ki normal denklemler adı verilen aşağıdaki eşitliklerin çözülmesiyle a, b. ... vs. için bulunacak değerler bu koşulu gerçekleştirecektir.
Fonksiyon : Y = a + bX
Normal denklemler : S Y = na + bSX
SYX = a SX + b S X2
Fonksiyon : Y = a + bX + cX2
Normal denklemler :
SY = na + bSx + c S X2
S YX = a S X + b S X2 + c SX3
S YX2= a S X2 + b S X3 + c SX4
Fonksiyon : Y = a + bX + cZ
Normal denklemler : S Y = na + b S X + c S Z
S YX = a S x + b S X2 + c S XZ
SYZ = a S Z + b SXZ + c S Z2
Fonksiyon : Y = a bx (Log Y = log a + X log b)
Normal denklemler :
S log Y = n log a + log bSX
S X log Y = log a S X + log b S x2
Normal denklemler, bütün verileri, kabul edilen fonksiyonda yerlerine geçirmek, hasıl olan eşitlikleri ilkin a nın, sonra b nin ve diğer sabitlerin katsayıları (yani sırasıyle 1. x, v.s. ile) çarpmak suretiyle elde edilen denklem takımlarının toplamlarından ibarettir. Bunu ve 2 x 9'bi değerlerin bir köşegen etrafında simetrik surette dağıldığını göz önünde bulundurarak normal denklemler kolayca doğrudan doğruya da yazılabilir.
Hesaplar donelerin asli değerleri (Y. X.) yerine aritmetik ortalamalarından sapmaları (x, y.) na göre yapıldığında değişkenlerin tek kuvvetli çarpımlarının toplamı (SY, Sx, Sx3 vs.) = 0,ur Dolayısıyla mesela
Y = a + bX
fonksiyonuna ait normal denklemlerden ilki ortadan kalkar, ikincisi de
S yx = b S x2 . b = S yx/Sx2
olur. Bundan dolayı genellikle hesaplarda aritmetik ortalamadan sapmalara dayanılır ve a sabitinin değeri. bulunmuş olan b. c... sabitleri ile değişkenlerin aritmetik ortalamaları değerinden sonradan hesaplanır. Mesela Y = a + bX fonksiyonu bahis konusu olduğunda a yı bulmak için elde edilen b değerini aşağıdaki formüle koymak yeterlidir:
ve ilgili değişkenlerin aritmetik ortalaması demektir.
Misal: Aşağıdaki tablonun 1 ve 2 No. lu sütunlarında gösterilen X ve Y serileri arasındaki bağıntı en küçük kareler usulüne göre bir doğru fonksiyonu ile gösterilecektir.
SY = 40 , S x = 30 ve kolayca hesaplanabileceği gibi S YX = 216 , S x2= 214 olduğundan normal denklemler
40 = 5 a + 30 b
216 = 30 a + 214 b dir. Bu denklemlerin çözülmesiyle
a = 12.236 , b = - 0.706 bulunur ve bağıntının
Y= 12.236 - 0.706 X
olduğu anlaşılır. Ortalamadan sapmalara göre yapılacak hesaplar aynı neticeyi daha çabuk verir. Gerçekten
Syx = -24 , S x2 = 34 , = - 0.706 ,
a = 8 + 6(0.706) = 12.236 dir.
Bulunan formüle X kıymetlerini geçirmek suretiyle elde edilen teorik değerler (Y'), bunların gerçek (Y) lerden farkları ve farkların kareleri de tabloda sütun 3-5 de gösterilmiştir. En küçük kareler teoremine göre (Y) lerin başka hiç bir doğrunun değerlerinden farklarının kareleri toplamı 5.033 den küçük olamaz.
Tablo No. 8
X
1
Y
2
Y
3
Y-Y
4
(Y-Y)2
5
4
5
8
3
10
10
7
6
11
6
9.41
8.70
6.59
10.12
5.18
+0.59
-1.70
-0.59
+0.88
+0.82
0.3481
2.8900
0.3481
0.7744
0.6724
30
40
40.00
0.00
5.0330
(Ö. C. Sarcl)
Almancası : Methode der kleinsten uuadrate.
Fransızcası : méthode des moindres carrés.
İngilizcesi : method of least sçuares.
(Bk; eğriye indirgeme, Korelasyon, Trend).
1 Gözlem sonucunda elde edilen serilerin yapılarını veya zaman serileri bahis konusu ise ana eğilimini (trendini) bir fonksiyonla temsil için. Mesela Türkiye'de elektrik üretiminin 1950 - 70 döneminde gelişmesi, veya gelir vergisi yükümlülerinin 1970 yılında gelir dilimlerine dağılımı hususunda böyle bir temsile ihtiyaç duyulabilir. Bu amaçla kullanıldığında en küçük kareler usulü gözlemleri eğriye indirgeme yollarından biri niteliğini taşır.
2 Bir olay (Y) ile onu etkileyen diğer bir olay veya olaylar (X, Z, ...) arasındaki ilişkiyi (örneğin talebin fiyat ve gelirle bağıntısını) regresyon denklemi adı verilen bir formül şeklinde ifade için Su halde en küçük kareler usulü korelasyon hesap*larının başlıca aracını teşkil eder.
Metodun esası, doneleri hem bünyelerine uygun hem de verdiği teorik değerler (Y') ile gerçek değerler (Y) arasındaki farkların kareleri toplamı
minimum
olan bir formülle göstermektir. En küçük kareler usulü olarak adlandırılması bununla ilgilidir.
Metod bağıntıların, yalnız, polinom şeklindeki yahu, herhangi bir dönüştürüm işlemi ile (bilhassa rakamları logaritmalarına çevirmek suretiyle) bu şekle getirilebilecek olan tek veya çok değişkenli fonksiyonlarla gösterilmesine yarar ve başka bir fonksiyona dayanılması gerektiğinde uygulanamaz Polinomlar:
Y= a + bX
Y= a + bX + cX2
Y= a + bX + cX2 + dX3+
şeklinde fonksiyonlardır. Korelasyon hesaplarında bu fonksiyonların sağ tarafında X den başka Y ve Z gibi diğer değişkenler de yer alabilir. Talep (Y) ile hem fiyat (X) hem de gelir (Z) arasında doğrusal bir bağıntı bulunduğunu gösteren
Y= a + bX + cZ
fonksiyonu buna örnektir. (Katlı korelasyonda bu gibi fonksiyonlaıdaki değişkenler ve sabitler için umumiyetle başka semboller kullanıldığı kaydedilmelidir )
Aslında polinom olmadıkları halde bir dönüştürüm işlemiyle polinom şeklini alan fonksiyonlara iisıei fonksiyon misal teşkil eder. Gerçekten
Y= a bx . log Y = log a + X log b olarak yazılabilir.
Bütün bu fonksiyonlarda Y bağımlı değişkeni X. Z. ... vs. bağımsız sayılan değişken veya değişkenleri gösterir. Dikkat edilecek bir nokta, müşahede ile elde edilmiş bir serinin matematik bir fonksiyona çevrilmesi halinde seri terimlerinin (zaman serilerinde: yıl ve ayların, bölünme serilerinde: şıkların veya sınıf ortalarının) X; frekans (Ni)veya miktarların ise Y sayılması gerektiğidir. Böylece sonuncu değerler seri terimlerinin fonksiyonu kabul edilmiş olurlar. Buna karşılık korelasyon hesaplarında hangi değişkenin bağımlı veya bağımsız sayılacağı çok kere belirli değildir.
Usul uygulanırken ilk iş, bağıntının söz konusu olan fonksiyonlardan hangisi ile temsil edileceğini (yani logaritmalara veya asli değerlere dayanan kaçıncı dereceden ve -korelasyonda- ne gibi değişkenleri ihtiva eden bir polinomla gösterileceğini) kararlaştırmaktır. Korelasyon araştırmalarında bu, esas tutulacak modelin seçilmesi demektir. Seçim için donelerin çizilecek grafiğini başka, maddelerde anlatılan şekillerde ve bazı teorik düşüncelere yer vermek suretiyle incelemek lazım gelir.
Esas tutulacak fonksiyon kararlaştırıldıktan sonra da bunun
S(Y Y')2 = minimum
koşulunu sağlıyacak olan sabit miktarlarını hesaplamak gerekir. İspat edilebilir ki normal denklemler adı verilen aşağıdaki eşitliklerin çözülmesiyle a, b. ... vs. için bulunacak değerler bu koşulu gerçekleştirecektir.
Fonksiyon : Y = a + bX
Normal denklemler : S Y = na + bSX
SYX = a SX + b S X2
Fonksiyon : Y = a + bX + cX2
Normal denklemler :
SY = na + bSx + c S X2
S YX = a S X + b S X2 + c SX3
S YX2= a S X2 + b S X3 + c SX4
Fonksiyon : Y = a + bX + cZ
Normal denklemler : S Y = na + b S X + c S Z
S YX = a S x + b S X2 + c S XZ
SYZ = a S Z + b SXZ + c S Z2
Fonksiyon : Y = a bx (Log Y = log a + X log b)
Normal denklemler :
S log Y = n log a + log bSX
S X log Y = log a S X + log b S x2
Normal denklemler, bütün verileri, kabul edilen fonksiyonda yerlerine geçirmek, hasıl olan eşitlikleri ilkin a nın, sonra b nin ve diğer sabitlerin katsayıları (yani sırasıyle 1. x, v.s. ile) çarpmak suretiyle elde edilen denklem takımlarının toplamlarından ibarettir. Bunu ve 2 x 9'bi değerlerin bir köşegen etrafında simetrik surette dağıldığını göz önünde bulundurarak normal denklemler kolayca doğrudan doğruya da yazılabilir.
Hesaplar donelerin asli değerleri (Y. X.) yerine aritmetik ortalamalarından sapmaları (x, y.) na göre yapıldığında değişkenlerin tek kuvvetli çarpımlarının toplamı (SY, Sx, Sx3 vs.) = 0,ur Dolayısıyla mesela
Y = a + bX
fonksiyonuna ait normal denklemlerden ilki ortadan kalkar, ikincisi de
S yx = b S x2 . b = S yx/Sx2
olur. Bundan dolayı genellikle hesaplarda aritmetik ortalamadan sapmalara dayanılır ve a sabitinin değeri. bulunmuş olan b. c... sabitleri ile değişkenlerin aritmetik ortalamaları değerinden sonradan hesaplanır. Mesela Y = a + bX fonksiyonu bahis konusu olduğunda a yı bulmak için elde edilen b değerini aşağıdaki formüle koymak yeterlidir:
ve ilgili değişkenlerin aritmetik ortalaması demektir.
Misal: Aşağıdaki tablonun 1 ve 2 No. lu sütunlarında gösterilen X ve Y serileri arasındaki bağıntı en küçük kareler usulüne göre bir doğru fonksiyonu ile gösterilecektir.
SY = 40 , S x = 30 ve kolayca hesaplanabileceği gibi S YX = 216 , S x2= 214 olduğundan normal denklemler
40 = 5 a + 30 b
216 = 30 a + 214 b dir. Bu denklemlerin çözülmesiyle
a = 12.236 , b = - 0.706 bulunur ve bağıntının
Y= 12.236 - 0.706 X
olduğu anlaşılır. Ortalamadan sapmalara göre yapılacak hesaplar aynı neticeyi daha çabuk verir. Gerçekten
Syx = -24 , S x2 = 34 , = - 0.706 ,
a = 8 + 6(0.706) = 12.236 dir.
Bulunan formüle X kıymetlerini geçirmek suretiyle elde edilen teorik değerler (Y'), bunların gerçek (Y) lerden farkları ve farkların kareleri de tabloda sütun 3-5 de gösterilmiştir. En küçük kareler teoremine göre (Y) lerin başka hiç bir doğrunun değerlerinden farklarının kareleri toplamı 5.033 den küçük olamaz.
Tablo No. 8
X
1
Y
2
Y
3
Y-Y
4
(Y-Y)2
5
4
5
8
3
10
10
7
6
11
6
9.41
8.70
6.59
10.12
5.18
+0.59
-1.70
-0.59
+0.88
+0.82
0.3481
2.8900
0.3481
0.7744
0.6724
30
40
40.00
0.00
5.0330
(Ö. C. Sarcl)
Almancası : Methode der kleinsten uuadrate.
Fransızcası : méthode des moindres carrés.
İngilizcesi : method of least sçuares.
(Bk; eğriye indirgeme, Korelasyon, Trend).