CİSİMLERİN DAYANIMI
Cisimlerin mukavemeti, mekaniğin şeklini değiştiren cisimler ile uğraşan bir bölümüdür. Bu bilim dalı çok kez mukavemet adı ile de anılır. Şeklini değiştirmeyen cisimler, yani rijit cisimler, mekaniğin rijit cisim mekaniği bölümünde incelendi. Rijit cisim mekaniğinin bir çok probleme çözüm getirmemesi nedeniyle cisimlerin mukavemetine gereksinim duyulmaktadır. Rijit cisim mekaniğinin cevap vermediği en önemli iki problem: Cisme gelen dış etkileri cismin taşıyıp taşıyamayacağı ve dış etkiler altında cismin yaptığı şekil değiştirmelerin bulunmasıdır. Bu ve bunun gibi cismin dayanımı ve şekil değiştirmesi ile ilgili problemlere cisimlerin mukavemeti ile cevap verilmeye çalışılmaktadır.
Uygulamada mukavemetten beklenen: Boyutlandırma ve kontrol problemlerine çözümleridir. Boyutlandırma problemi; tasarlanan sistemin boyutlarının belirlenmesidir. Çok kez tasarlanan sistemin bazı boyutları gereksinim veya mimari nedenler ile önceden belli olabilir. Diğer boyutların belirlenmesi istenir. Örneğin bir oda döşemesinin iki boyutu mimari nedenler ile önceden belirlenir ve döşeme kalınlığı istenir. Silindirik bir kazanın uzunluğu ve yarı çapı işletme gereksinimleri ile belirlenir ve saç kalınlığı istenir. Kontrol probleminde ise sistemin boyutları belli olup sistemin verilen yükü verilen güvenlik ile taşıyıp taşımayacağı sorulur. İleride görüleceği gibi bu iki problem birbirinden pek farklı değildir. Boyutlandırma veya kontrol problemlerine cevap verilirken sistemin yükleri belirli bir güvenlik ile taşıması istendiği gibi aynı zamanda da sistemin şekil değiştirmelerinin belirli sınırlar içinde kalması ve dengenin kararlı olması da istenir.
Boyutlandırma problemine özüm aranırken güvenlik ve maliyet faktörleri göz önüne alınır. Malzeme kusurları, teoride yapılan kabuller, dış yüklerin tam belirli olmaması, malzemenin zamanla yıpranması gibi faktörler göz önünde bulundurularak; sistem dış etkilere tam dayanacak şekilde boyutlandırılmaz; sistemin boyutları, güvenlik düşüncesi ile arttırılır. İşçilik ve malzeme giderlerinden oluşan maliyetinde az olması istenir. Güvenlik ve maliyet faktörleri birbirinin tersi sonuç verir. Güvenlik artınca maliyet de artar. Tasarımcı bu iki şart için optimum bir çözüm bulmaya çalışır.
Yukarda belirtilen bu iki şartın haricinde bazı sistemlerde üçüncü şart olarak, bilhassa yapı sistemlerinde, estetik şartı ortaya çıkabilir bu gibi durumlarda sistemin estetik olması için maliyet şartından ödün verilir.
MUKAVEMETİN İDEAL KAVRAMLARI VE İLKELERİ
Her bilim; problemleri ile uğraşırken bazı tanımlar yapar, problemlerinin modellendirilmesine kolaylaştırmak için bazı ideal kavramları kullanır ve bir takım ilkeler koyarak temel problemini çözmeye çalışır.
Mukavemette tanım ve idealleştirmeler daha çok dış etki ile şekil değiştirmeler arasındaki bağıntılarda yapılmaktadır şekil değiştirme oluştuktan sonra dış etki kaldırılınca hemen geri dönen şekil değiştirmelere elastik şekil değiştirme ve bu özellikleri cisimlere elastik cisim adı verilir. Elastik şekil değiştirmeler zamandan bağımsızdır, dış etki kalkınca hemen geri döner.
Dış etkiler kalktıktan sonra hemen geri dönmeyen şekil değiştirmelere ise elastik olmayan şekil değiştirmeler adı verilir. Elastik olmayan şekil değiştirmeler içinde zamana bağlı olmayan şekil değiştirmelere plastik şekil değiştirme ve bu özelliğe sahip cisimlere plastik cisim adı verilir. Plastik şekil değiştirmeler kalıcı şekil değiştirmelerdir. Burada plastik kelimesi polimerik malzemeler için genel olarak kullanılan isim anlamında kullanılmamaktadır.
Bu cisim yüklendikten sonra yükün sabit kalmasına karşın şekil değiştirmeler zaman içinde artabilir. Bu olaya sünme denir. Her hangi bir yüklemeden sonra yük kalktıktan sonra şekil değiştirmenin bir kısmı zaman içinde geri gelebilir bu olaya elastik gecikme denir. Elastik gecikmedeki geri dönen şekil değiştirmeler her ne kadar elastik şekil değiştirmenin bir formu ise de zamana bağlı olması nedeniyle elastik olmayan deformasyonlar arsında düşünülmektedir. Bazı yazarlar sonradan geri dönen kısmın elastik şekil değiştirmenin bir formu olması nedeniyle elastik şekil değiştirme olarak kabul ederler.
Zaman faktörü göz önüne alınmadığı takdirde cisim üzerindeki dış etkiler kalktıktan sonra geri dönen şekil değiştirmeler elastik şekil değiştirmeler ve geri dönmeyen kalıcı şekil değiştirmeler plastik şekil değiştirmeler olarak tanımlanır.
Elastik ve plastik cisimler ideal cisimlerdir. Böyle cisimler doğada yoktur. Doğada bulunan cisimlerde dış etkiler kalktıktan sonra şekil değiştirmenin bir kısmı geri gelir ve bir kısmı geri gelmez. Bu cisimlere elasto- plastik cisim adı verilir. Kalıcı ve elastik şekil değiştirmenin miktarına göre cisim idealleştirilerek elastik veya plastik cisim olarak kabul edilir şayet elastik ve plastik şekil değiştirmeler mertebe olarak farklı değil ise cismi elasto- plastik cisim olarak göz önüne almak gerekir.
Uygulamada sık kullanılan bir başka idealleştirme, cismin şekli değiştirme kanunun doğrusal kabul edilmesidir. Bu şekilde idealleştirilen cisme hook cismi veya doğrusal elastik cisim adı verilir.
Özellikleri noktadan noktaya değişmeyen cisimlere homojen cisim adı verilir. Özellikleri doğrultuya göre değişmeyen cisimlere ise izotrop cisim aksi halde anizotrop cisim adı verilir.
Zamana bağlı şekil değiştirmede şekil değiştirme hızı gerilmenin fonksiyonu ise böyle cisimler viskos adı verilir. Bağıntı doğrusal ise doğrusal viskos cisim aksi halde doğrusal olmayan viskos cisim adı verilir.
Katılaşma İlkesi
Bu ilkeye göre; bir cisim şeklini değiştirdikten sonra rijit cisim olarak göz önüne alınıp denge denklemleri yazılabilir. Bu ilke yardımı ile rijit cisim mekaniği ile şeklini değiştiren cisimler mekaniği arasında köprü kurularak rijit cisim mekaniğinin denge denklemi kullanılır.
Ayırma İlkesi
Bu ilkeye göre; bir cisim düşünsel olarak daha küçük parçalara ayrılıp her parça yeni bir cisim gibi göz önüne alınabilir. Gerçekten ikiye ayrılmış cisimler için bu ilke aşikardır. Ayırma ilkesine kesit ilkesi de adı verilir. Bu ilke rijit cisim mekaniğinde gereken yerlerde kullanıldı; örneğin kafes kirişlerde kesim yöntemi ile çubukların hesaplanmasında. Bu ilke aynı zamanda cismin sürekli bir ortam olduğunu belirtir. Ayırma ilkesi yardımıyla iç kuvvet kavramı tanımlanır.
Saint-Venan İlkesi
Bu ilkeye göre; elastik bir cismin belirli bir bölgesine etkiyen dış kuvvetlerin eş değerleri alındığında bu bölgeden yeter uzaklık da bulunan noktalarda gerilmeler ve şekli değiştirmeler yaklaşık olarak değişmezler.
Statikte kullanılan kaydırma ve statik eşdeğerlerini alma ilkesi şekil değiştiren cisimler mekaniğinde geçerli değildir. Örneğin şekil 1.1(a) da görülen çubuğa etki eden kuvvetler kendi doğrultularına kaydırıldığında şekil 1.1(b) de görülen durum elde edilir iki durum şekil değiştiren cisimler mekaniği bakımından birbirinden farklıdır. Birinci çubuğun boyunun uzamasına karşın ikinci çubuğun boyu kısalır. Saint-Venan ilkesine göre; işlemlerin yapıldığı bölgeden kafi derecede uzak yerlerde, kuvvetler kaydırılır veya eşdeğerleri alınır. Şekil 1.2 de görülen yayılı yükler yerine Q bileşkesinin konulması çubuk uçlarından uzak noktalarda hesap yapıldığı zaman geçerlidir.
Birinci Mertebe Teorisi
Şekil değiştirmeler küçük olduğunda cisimlerin şekil değiştirmiş haliyle şekil değiştirmemiş hali arasındaki fark çok küçüktür. Bu nedenle denge denklemleri şekli değiştirmemiş cisim üzerinde yazıla bilir. Bu şekilde yapılan hesaplara birinci mertebe teorisi adı verilir. Şekil 1.3 de görülen ankastre kirişte mesnet momenti hesaplanırken L1 uzunluğu yerine L uzunluğun alınarak momentin PL olarak hesaplanması birinci mertebe teorisine bir örnektir.
Şekil değiştirmelerin büyük olduğu sistemlerde; örneğin yüksek binalar, asma köprüler birinci mertebe probleminde uygun sonuç vermez. Bu durumda şekil değiştirmeler küçük kabul edilmeyip denge denklemine şekil değiştirmiş cisim üzerinde yazmak gerekir. Bu hesap şekline ikinci mertebe teorisi adı verilir ki şekil değiştirmeler baştan bilinmediğinde hesaplar daha uzundur.
CİSİMLER
Mukavemette cisim olarak herhangi bir cisim değil mühendislikte kullanılan malzeme göz önüne alınır. Mühendislikte kullanılan malzemeler çeşitli şekillerde sınıflandırılırlar. Bu sınıflandırmalar için malzemelerin mikro yapılarına ve kimyasal bağlarını kriter olarak göz önüne alan sınıflama en tutarlı sınıflamalardan biridir. Bu sınıflamaya göre malzemeler: a) metaller, b) alaşımları, c) seramikler, d) kompozitler olmak üzere dört gurupta toplana bilir.
GERİLME ANALİZİ
2.1 Bir Eksenli Gerilme Hali : Normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuğun dik kesitlerinde normal gerilmeler meydana geldiğini gördük şimdi çubuğun eğik kesimlerindeki durumu incelmek istiyoruz. Dik kesitteki gerilmelere 1 indisi ekleyerek şöyle yazabiliriz.
σ =N/F
Dik kesiti dış normali, çubuğun z ekseni doğrultusunda idi. Eğik kesitin eğimini tanımlamak için bu kesitin dış normalinin z ile yaptığı Ø açısını kullanacağınız ( şekil 2.1d). Eğik olan kesitin F’ alanı daha büyüktür ve iz düşüm şartından
F’= F/ cos Ø ( 2.1 )
yazılır. Normal kuvvet eğik alanı üzerine de düzgün yayılacağından birim alana gelen kuvvet, yani eğik gerilme
tØ= N/F’ =N/(F/cosØ) =(N/F)xcosØ =σ1xcosØ ( 2.2 )
olur. Yüzeye göre eğik olan bu gerilmeleri yüzeye normal ve yüzey içinde iki bileşene ayırırsak ( Şek. 2.1 e )
σ = tØ x cos Ø
τ = -tØ x sin Ø ( 2.3 )
elde edilir. Görüldüğü gibi eğik kesitlerde normal gerilmeden başka kayma gerilmeleri de bulunmaktadır. Kayma gerilmelerine konan eksi işareti, bir işaret kabulünden doğmaktadır. Kayma gerilmesi için pozitif yönü şöyle tanımlıyoruz: Yüzeyin dış normalini matematik pozitif yönde ( saat ibrelerinin tersi yönünde ) yüzey üstüne getirmekle elde edilen yön, kayma gerilmeleri için pozitif yöndür ( şek. 2.2 ).
( 2.2) deki tØ değeri ( 2.3 ) de yerine konursa
σ = σ1 x cos²Ø
τ = - σ1 x sinØ x cosØ ( 2.4 )
elde edilir. Böylece eğik kesitlerdeki σ ve τ, dik kesitteki σ1 değerine bağlı olarak ifade edilmiş olmaktadır.
Eğik kesitlerde kayma gerilmeleri meydana gelişini şu deney gayet iyi açıklar ( Şekil 2.3): dik kesitle ayrılmış bir çubukta P kuvveti iletilebildiği halde eğik kesitle ayrılmış iki parçada yükü iletmek mümkün olmaz. Bu kayma etkisi, kesilmemiş çubukta malzeme tarafından taşınmaktadır.
( 2.4 ) formülleri Ø’ nin 0º ile 360º arasındaki bütün değerleri için doğrudur. Ø yerine Ø+180º konursa karşı yüzeydeki ( şek 2.4 ) gerilmeler elde edilir. Karşı yüzeydeki gerilmeler birbirinin aynı olmalıdır, formülde bu sonucu verir:
σØ + 180º = σØ
τØ + 180º = τØ ( 2.5 )
Yönleri ise birbirinin aksidir.
Birbirine paralel kesitlerde Ø aynı olduğundan gerilmeler aynıdır.
Birbirine dik olan iki kesitteki kayma gerilmeleri arasındaki bağıntı ilginçtir.
τØ + 90º = - σ1 x sin (Ø + 90º ) x cos ( Ø + 90º )
= - σ1 x cos Ø x ( -sinØ ) = - τØ
τØ + 90º = -τØ ( 2.6 )
O halde dik iki yüzeydeki kayma gerilmeleri şiddetçe aynı, işaretçe terstir.
2.2 İki Eksenli Gerilme Hali : Bir çubuğu keserek bir eksenli gerilme halini inceledik. Şimdi çubuk kavramını bir yana bırakılarak iki doğrultuda gerilme etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alacağız ( Şek. 2.5 ) bu cisim bir plak veya kabuğun bir parçası olabilir; fakat aynı zamanda bir çubuk içindeki elemanda olabilir.
Şimdi cismin içinde, σ1 ile Ø açısı yapan bir yüzey üzerindeki gerilmeleri hesaplamak istiyoruz ( şek. 2.6 a) bunun iki tane bir eksenli gerilme halinin toplamı olarak bulmak mümkündür.
Yalnız σ1 gerilmeleri etkisindeki cisim için ( Şek. 2.6 b) Ø eğimindeki yüzeyde meydana gelen gerilmeler ( 2.4 ) gereğince
σ = σ1 x cos² Ø
τ´ = -σ1 x sinØ x cosØ
olur. Yalnız σ2 gerilmeleri etkisindeki cisimde ( şek. 2.6 c ) yine ( 2.4 ) formülleri kullanılabilir; ancak bu defa Ø yerine – ( 90º-Ø ) koymak gereklidir o halde
σ´´ = σ2 x cos² [-( 90-Ø)]
τ´´ = -σ2 x sin [-(90-Ø)] x cos x [-( 90-Ø)]
olur.
Cos [- ( 90-Ø ) ] = sinØ, sin [- ( 90-Ø ) ] = - cosØ
Olduğundan
σ´´ = σ2 x sin²Ø
τ´´ = σ2 x sinØ x cosØ
elde edilir.σ1 ve σ2’ nin bir arada bulunması halinde
σ = σ´ + σ2´´, τ = τ´ + τ´´ olacağından
σ = σ1 x cos²Ø + σ2 x sin²Ø
τ = -σ1 x sinØ x cosØ + σ2 x sinØ x cosØ ( 2.7 )
elde edilir.
2.3 Bir Noktadaki Gerilme Hali: σ1 ve σ2 gerilmeleri etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alalım ( Şek. 2.7 ). Cismin içindeki bir A noktasındaki gerilme halini bilmek, o noktadan geçen her eğimdeki yüzeyde bulunan gerilmeleri bilmek demektir. Bundan önceki kısımda çıkarılan formüller, σ1 ve σ2 verilince her hangi bir açık yüzeydeki gerilmeleri bulmak olanağını vermektedir şu halde bir noktadaki iki eksenli gerilme hali üç sayının verilmesi ile belirli olmaktadır. Bu üç sayı σ1, σ2, Ø olmak zorunda değildir. Gerçekten, A noktasını içine alan sonsuz küçük bir prizma alalım ve bunun yüzeylerinin normalini x ve y ile gösterelim ( şek. 2.7 a ). Bu yüzeylerdeki normal gerilmeler σx ve σy olsun. Kayma gerilmelerini iki indisle göstermek gerekmektedir. Birinci indis, gerilmenin etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu, ikincim indis kendi doğrultusunu göstermektedir. Böylece ortaya çıkan τxy ve τyx kayma gerilmelerinin birbirine eşit olduğunu biliyoruz:
τxy = τyx
şimdi prizmanın yüzeylerindeki gerilmeleri σ1, σ2, Ø cinsinden hesaplayalım.x normalinin açısı Ø, y normalimin açısı Ø + 90º olduğundan
σ x = (σ1 + σ2)/2 + (σ1 –σ2 )/2xcos2Ø
σ y = (σ1 + σ2)/2 - (σ1 –σ2 )/2xsin2Ø
τxy =-(σ1 –σ2 )/2xcos2Ø (2.8)
bulunur.
Formüllerin yerine mohr dairesi kullan ılınırsa Şek.2.7c de gösterildiği üzere bir çapın iki ucunda bulunan C´ ve C´´ noktalarının apsis ve ordinatlarına geliriz.
2.4 Üç Eksenli Gerilme Hali: Cismin içindeki bir noktadan çıkarılan bir küp üzerinde genel olarak her yüzey üzerinde gerilme vardır. Bu gerilme bileşenleri Şek. 2.11’ de gösterilmiştir. Daha öncede söylediğimiz gibi, τ’ lardaki ilk indis etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu ikini indis kendi doğrultusunu göstermektedir. Şek. 2.11 incelenirse, bir noktadaki gerilme halini karakterize etmek için 9 büyüklüğün bulunduğu görülür. Bir vektörün üç bilileşenle belli olduğu düşünülürse bir noktadaki gerilme halini vektörden de farklı bir büyüklük olduğu anlaşılır. Böylece 9 bileşenle beliren ve koordinat dönüşümünde belirli özellikler sağlayan büyüklüklere tansör denir. Gerilme tansörünün matris gösterimi
σx τxy τxz
τyz σy τyz
τzx τzy σz ( 2.7 )
şeklindedir. Ayrıca, daha önce yapıldığı gibi moment denge denklemleri kullanılarak
τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz ( 2.8 )
olduğu gösterilebilir. Bu gerilme tansörünün simetrik olduğunu ifade eder.
2.5 Bazı Özel Gerilme Halleri: Şek. 2.12’ de bazı önemli gerilme hallerine ait mohr diyagramları çizilmiştir bunları kısaca gözden geçireceğiz.
a) Basit çekme ve basit basınç ( Şek. 2.12 a ). Bunlar tek eksenli gerilme halleridir. Normal kuvvet halinde bu durum ortaya çıkar. En büyük kayma gerilmesi 45º eğimli kesitlerde meydana gelir.
b) İki doğrultuda eşit çekme veya eşit basınç.σ1 = σ2, σ3 = 0 halidir. Çekme olması hali Şek. 2.12 b’ de gösterilmiştir; basınç halinde sadece işaret değişir. Bu haller gerilmesiz ( σ3 = 0) yüzeye dik kesilen yüzeylerde kayma gerilmesi bulunmaz.
c) Basit kayma ( Şek. 2.12 c ) iki eksenli gerilme halinde yüzeylerde yalnız kayma gerilmesi olması halidir. Asal gerilme bakımından σ2 = -σ1, σ3 = 0 olması halidir. Büyük mohr dairesinin merkezi, koordinat başlangıcında olur.
d) Hidrostatik çekme veya basınç.σ1 = σ2 = σ3 olması halidir. Eğer gerilmeler basınç ise bu hal sıvı basıncı etkisindeki bir elemanda meydana geldiğinden hidrostatik basınç hali adı verilmiştir. Aynı isim benzer olarak çekmeye de uygulanmaktadır. Bu halde mohr dairesi bir noktaya dejenere olur. ( Şek. 2.12 d ). Bütün kesitlerdeki normal gerilmeler birbirine eşit olur, kayma gerilmeleri ise sıfırdır.
2.6 Şekil Değiştirme: Dış kuvvetlerin etkiyle cisimlerin şekil değiştirdiklerini biliyoruz. Normal kuvvet halinde cismin bütününün boyut değiştirmesini hesaplamıştık. Şimdi cisimlerin düzlemsel şekil değiştirmesini daha yakından inceleyeceğiz.
Bir cismin bir A noktasını ve bu noktadan geçen birbirine dik AB ve AC doğrultularının göz önüne alalım (Şek. 2.13 ).A,B,C noktaları yer değiştirsin ve A´, B´, C´ noktalarına gitmiş olsun. Eğer A´B´, AB den büyük ise bu doğrultuda bir boy değiştirme vardır. Keza, eğer < B´A´C´,< BAC den farklı ise bir açı değiştirmesi vardır. İşte şekil değiştirme, boy değiştirmesi ve açı değiştirmesi olmak üzere bu iki tipe göre tanımlanır.
Yer değiştirme, doğrudan doğruya noktaların yeni konumunu tanımlar. AA´ ye yer değiştirme diyoruz. Yer değiştirme ile şekil değiştirme arasında bağıntı vardır. Ancak şekil değiştirme noktaların bağıl konumları arasında değişme olmasına bağlıdır. Hiç şekil değiştirme yapmayan bir yer değiştirmeye rijit yer değiştirme adı verilir.
Boy değiştirmenin ölçülme şeklini daha önce görmüştük. Bunun için birim uzamayı (uzama oranı ) göz önüne alıyorduk. A noktası köşe olarak üzere lx, ly, lz kenarlı küçük bir prizma göz önüne alalım (Şek. 2.14 ). lz kenarı kağıt düzlemine diktir. Şekil değiştirmeyi bulmak için A dan geçen bir doğrultudaki boy uzamasını bilmek yetişmez. Ona dik doğrultudaki şekil değiştirmeyi de bilmek gerekir. Böylece şekil değiştirmenin üç bileşeni şöyle olur.
(1) x doğrultusundaki birim uzama. Bu doğrultudaki ilk boy lx, boydaki uzama δx ise
єx = δx/lx (2.9)
olur.Uzama yerine kısalma olunca єx in negatif olacağı önceden bilinmektedir.
(2) y doğrultusunda ki birim uzama. Bu doğrultudaki ilk boy ly, boydaki uzama δy ise
єy = δy/ly (2.10)
olur.
(3) xy doğrultusundaki açı değiştirme. Bunu daha önce işlemiştik. Açı değiştirme, dik bir açıdaki küçülme miktarı ile ölçülmektedir. Açı küçülüyorsa pozitif sayılmaktadır. Açılar radyan ile ölçüldüğüne göre boyutsuz bir büyüklüktür. İki doğrultuyu ilgilendirdiği için iki indis konarak γxy veya γyx ile gösterilir.şu halde şek. 2.14 c den
γ1+γ2 = γxy = π /2 – B´A´C´ (2.11)
olur.
2.7 Genel Hooke Kanunları :Normal kuvvet halinde Hooke kanununun, normal gerilme ile birim uzamanın orantılı olması şeklinde açıkladık :
є = σ/E
Şimdi bir noktadaki gerilmeyi belirten altı büyüklük ile bu noktadaki şekil değiştirmeyi belirten altı büyüklük arasında, kısacası gerilme ve şekil değiştirme tansörleri arasında bir bağıntı kurmak istiyoruz .bu bağıntılar yine benzer orantılılık kanunu olacaktır.
x doğrultusunda etkiyen bir σx gerilmesi, o doğrultuda bir uzama getirdikten başka y ve z doğrultularında da meydana getiriyordu (Şek. 2.15 ). Bunlarda göz önünde tutulur ve σx’ den başka σy’ nin de var olduğu düşünülürse birim uzamalar şöyle elde edilir:
єx = 1/E [σx - ν ( σy + σz )]
єy = 1/E [σy - ν (σx + σz )]
єz = 1/E [σz – ν (σx + σy)]
2.8 Şekil Değiştirme Enerjisi: Cisme etkiyen dış kuvvetler cismin, şekil değiştirmesi sırasında bir iş yaparlar. Bu iş cisimde depo edilir ve geriye alınabilir. Buna elastik enerji veya şekil değiştirme enerjisi adını veriyoruz.
Bütün cisimdeki şekil değiştirme enerjisi, cismin küçük elemanlarındaki enerjinin toplamı, inteğralidir. Bu bakımdan önce bir küçük hacim elemanındaki enerjinin hesabını göreceğiz.
Bu arada işin, kuvvetin yol üzerindeki iz düşümü ile yolun çarpımına ait olduğunu hatırlayalım. Kuvvetin izdüşümü yol boyunca sabit kalıyorsa iş hesabı basit bir çarpımdan ibaret olur. Kuvvet değişken ise işi bir inteğral ile hesaplamalıdır ( Şek. 2.16 ):
U1→2 = ∫Pt’ds = ( Pt)ort. (s2-s1)
4.9 Mukavemet Hipotezleri: Yapılarda kullanılan malzemenin bir dayanma sınırı vardır: Gerilmeler beliril bir sınıra gelince malzeme işe yaramaz hale gelir. Bu dayanma sınırı, sünek malzemenin akma gerilmesi, gevrek malzemede kırılma gerilmesidir. Malzeme bir eksenli gerilme halinin etkisinde ise bu sınır gerilmesini bulmak kolaydır. Çekme ve basınç halinde laboratuarda deneyler yapılarak bu sınırlar bulunur. Bu sınır gerilmeleri σm ve σm´ ile göstereceğiz. Burulma yardımıyla kayma mukavemetinde bulmak mümkün olur ancak yapıdaki malzemenin herhangi bir noktasındaki gerilmeler her zaman bir eksenli değildir.σ1, σ2, σ3 gibi üç eksenli gerilme halinin etkisindeki bir cisim için ise kolayca bir hükme varmak mümkün değildir. Çok eksenli gerilme hallerinde, laboratuarda deneyle sonuca ulaşmak çok zor hatta imkansızdır; üstelik gayet karışık araçlara ihtiyaç gösterir. Üç eksenli gerilme hallerinden sadece hidrostatik basınç haline ait deneyler nispeten kolayca yapılmaktadır bu halde basınç ne kadar yükselirse yükselsin malzemenin dayandığı saptanmıştır.
__________________
Cisimlerin mukavemeti, mekaniğin şeklini değiştiren cisimler ile uğraşan bir bölümüdür. Bu bilim dalı çok kez mukavemet adı ile de anılır. Şeklini değiştirmeyen cisimler, yani rijit cisimler, mekaniğin rijit cisim mekaniği bölümünde incelendi. Rijit cisim mekaniğinin bir çok probleme çözüm getirmemesi nedeniyle cisimlerin mukavemetine gereksinim duyulmaktadır. Rijit cisim mekaniğinin cevap vermediği en önemli iki problem: Cisme gelen dış etkileri cismin taşıyıp taşıyamayacağı ve dış etkiler altında cismin yaptığı şekil değiştirmelerin bulunmasıdır. Bu ve bunun gibi cismin dayanımı ve şekil değiştirmesi ile ilgili problemlere cisimlerin mukavemeti ile cevap verilmeye çalışılmaktadır.
Uygulamada mukavemetten beklenen: Boyutlandırma ve kontrol problemlerine çözümleridir. Boyutlandırma problemi; tasarlanan sistemin boyutlarının belirlenmesidir. Çok kez tasarlanan sistemin bazı boyutları gereksinim veya mimari nedenler ile önceden belli olabilir. Diğer boyutların belirlenmesi istenir. Örneğin bir oda döşemesinin iki boyutu mimari nedenler ile önceden belirlenir ve döşeme kalınlığı istenir. Silindirik bir kazanın uzunluğu ve yarı çapı işletme gereksinimleri ile belirlenir ve saç kalınlığı istenir. Kontrol probleminde ise sistemin boyutları belli olup sistemin verilen yükü verilen güvenlik ile taşıyıp taşımayacağı sorulur. İleride görüleceği gibi bu iki problem birbirinden pek farklı değildir. Boyutlandırma veya kontrol problemlerine cevap verilirken sistemin yükleri belirli bir güvenlik ile taşıması istendiği gibi aynı zamanda da sistemin şekil değiştirmelerinin belirli sınırlar içinde kalması ve dengenin kararlı olması da istenir.
Boyutlandırma problemine özüm aranırken güvenlik ve maliyet faktörleri göz önüne alınır. Malzeme kusurları, teoride yapılan kabuller, dış yüklerin tam belirli olmaması, malzemenin zamanla yıpranması gibi faktörler göz önünde bulundurularak; sistem dış etkilere tam dayanacak şekilde boyutlandırılmaz; sistemin boyutları, güvenlik düşüncesi ile arttırılır. İşçilik ve malzeme giderlerinden oluşan maliyetinde az olması istenir. Güvenlik ve maliyet faktörleri birbirinin tersi sonuç verir. Güvenlik artınca maliyet de artar. Tasarımcı bu iki şart için optimum bir çözüm bulmaya çalışır.
Yukarda belirtilen bu iki şartın haricinde bazı sistemlerde üçüncü şart olarak, bilhassa yapı sistemlerinde, estetik şartı ortaya çıkabilir bu gibi durumlarda sistemin estetik olması için maliyet şartından ödün verilir.
MUKAVEMETİN İDEAL KAVRAMLARI VE İLKELERİ
Her bilim; problemleri ile uğraşırken bazı tanımlar yapar, problemlerinin modellendirilmesine kolaylaştırmak için bazı ideal kavramları kullanır ve bir takım ilkeler koyarak temel problemini çözmeye çalışır.
Mukavemette tanım ve idealleştirmeler daha çok dış etki ile şekil değiştirmeler arasındaki bağıntılarda yapılmaktadır şekil değiştirme oluştuktan sonra dış etki kaldırılınca hemen geri dönen şekil değiştirmelere elastik şekil değiştirme ve bu özellikleri cisimlere elastik cisim adı verilir. Elastik şekil değiştirmeler zamandan bağımsızdır, dış etki kalkınca hemen geri döner.
Dış etkiler kalktıktan sonra hemen geri dönmeyen şekil değiştirmelere ise elastik olmayan şekil değiştirmeler adı verilir. Elastik olmayan şekil değiştirmeler içinde zamana bağlı olmayan şekil değiştirmelere plastik şekil değiştirme ve bu özelliğe sahip cisimlere plastik cisim adı verilir. Plastik şekil değiştirmeler kalıcı şekil değiştirmelerdir. Burada plastik kelimesi polimerik malzemeler için genel olarak kullanılan isim anlamında kullanılmamaktadır.
Bu cisim yüklendikten sonra yükün sabit kalmasına karşın şekil değiştirmeler zaman içinde artabilir. Bu olaya sünme denir. Her hangi bir yüklemeden sonra yük kalktıktan sonra şekil değiştirmenin bir kısmı zaman içinde geri gelebilir bu olaya elastik gecikme denir. Elastik gecikmedeki geri dönen şekil değiştirmeler her ne kadar elastik şekil değiştirmenin bir formu ise de zamana bağlı olması nedeniyle elastik olmayan deformasyonlar arsında düşünülmektedir. Bazı yazarlar sonradan geri dönen kısmın elastik şekil değiştirmenin bir formu olması nedeniyle elastik şekil değiştirme olarak kabul ederler.
Zaman faktörü göz önüne alınmadığı takdirde cisim üzerindeki dış etkiler kalktıktan sonra geri dönen şekil değiştirmeler elastik şekil değiştirmeler ve geri dönmeyen kalıcı şekil değiştirmeler plastik şekil değiştirmeler olarak tanımlanır.
Elastik ve plastik cisimler ideal cisimlerdir. Böyle cisimler doğada yoktur. Doğada bulunan cisimlerde dış etkiler kalktıktan sonra şekil değiştirmenin bir kısmı geri gelir ve bir kısmı geri gelmez. Bu cisimlere elasto- plastik cisim adı verilir. Kalıcı ve elastik şekil değiştirmenin miktarına göre cisim idealleştirilerek elastik veya plastik cisim olarak kabul edilir şayet elastik ve plastik şekil değiştirmeler mertebe olarak farklı değil ise cismi elasto- plastik cisim olarak göz önüne almak gerekir.
Uygulamada sık kullanılan bir başka idealleştirme, cismin şekli değiştirme kanunun doğrusal kabul edilmesidir. Bu şekilde idealleştirilen cisme hook cismi veya doğrusal elastik cisim adı verilir.
Özellikleri noktadan noktaya değişmeyen cisimlere homojen cisim adı verilir. Özellikleri doğrultuya göre değişmeyen cisimlere ise izotrop cisim aksi halde anizotrop cisim adı verilir.
Zamana bağlı şekil değiştirmede şekil değiştirme hızı gerilmenin fonksiyonu ise böyle cisimler viskos adı verilir. Bağıntı doğrusal ise doğrusal viskos cisim aksi halde doğrusal olmayan viskos cisim adı verilir.
Katılaşma İlkesi
Bu ilkeye göre; bir cisim şeklini değiştirdikten sonra rijit cisim olarak göz önüne alınıp denge denklemleri yazılabilir. Bu ilke yardımı ile rijit cisim mekaniği ile şeklini değiştiren cisimler mekaniği arasında köprü kurularak rijit cisim mekaniğinin denge denklemi kullanılır.
Ayırma İlkesi
Bu ilkeye göre; bir cisim düşünsel olarak daha küçük parçalara ayrılıp her parça yeni bir cisim gibi göz önüne alınabilir. Gerçekten ikiye ayrılmış cisimler için bu ilke aşikardır. Ayırma ilkesine kesit ilkesi de adı verilir. Bu ilke rijit cisim mekaniğinde gereken yerlerde kullanıldı; örneğin kafes kirişlerde kesim yöntemi ile çubukların hesaplanmasında. Bu ilke aynı zamanda cismin sürekli bir ortam olduğunu belirtir. Ayırma ilkesi yardımıyla iç kuvvet kavramı tanımlanır.
Saint-Venan İlkesi
Bu ilkeye göre; elastik bir cismin belirli bir bölgesine etkiyen dış kuvvetlerin eş değerleri alındığında bu bölgeden yeter uzaklık da bulunan noktalarda gerilmeler ve şekli değiştirmeler yaklaşık olarak değişmezler.
Statikte kullanılan kaydırma ve statik eşdeğerlerini alma ilkesi şekil değiştiren cisimler mekaniğinde geçerli değildir. Örneğin şekil 1.1(a) da görülen çubuğa etki eden kuvvetler kendi doğrultularına kaydırıldığında şekil 1.1(b) de görülen durum elde edilir iki durum şekil değiştiren cisimler mekaniği bakımından birbirinden farklıdır. Birinci çubuğun boyunun uzamasına karşın ikinci çubuğun boyu kısalır. Saint-Venan ilkesine göre; işlemlerin yapıldığı bölgeden kafi derecede uzak yerlerde, kuvvetler kaydırılır veya eşdeğerleri alınır. Şekil 1.2 de görülen yayılı yükler yerine Q bileşkesinin konulması çubuk uçlarından uzak noktalarda hesap yapıldığı zaman geçerlidir.
Birinci Mertebe Teorisi
Şekil değiştirmeler küçük olduğunda cisimlerin şekil değiştirmiş haliyle şekil değiştirmemiş hali arasındaki fark çok küçüktür. Bu nedenle denge denklemleri şekli değiştirmemiş cisim üzerinde yazıla bilir. Bu şekilde yapılan hesaplara birinci mertebe teorisi adı verilir. Şekil 1.3 de görülen ankastre kirişte mesnet momenti hesaplanırken L1 uzunluğu yerine L uzunluğun alınarak momentin PL olarak hesaplanması birinci mertebe teorisine bir örnektir.
Şekil değiştirmelerin büyük olduğu sistemlerde; örneğin yüksek binalar, asma köprüler birinci mertebe probleminde uygun sonuç vermez. Bu durumda şekil değiştirmeler küçük kabul edilmeyip denge denklemine şekil değiştirmiş cisim üzerinde yazmak gerekir. Bu hesap şekline ikinci mertebe teorisi adı verilir ki şekil değiştirmeler baştan bilinmediğinde hesaplar daha uzundur.
CİSİMLER
Mukavemette cisim olarak herhangi bir cisim değil mühendislikte kullanılan malzeme göz önüne alınır. Mühendislikte kullanılan malzemeler çeşitli şekillerde sınıflandırılırlar. Bu sınıflandırmalar için malzemelerin mikro yapılarına ve kimyasal bağlarını kriter olarak göz önüne alan sınıflama en tutarlı sınıflamalardan biridir. Bu sınıflamaya göre malzemeler: a) metaller, b) alaşımları, c) seramikler, d) kompozitler olmak üzere dört gurupta toplana bilir.
GERİLME ANALİZİ
2.1 Bir Eksenli Gerilme Hali : Normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuğun dik kesitlerinde normal gerilmeler meydana geldiğini gördük şimdi çubuğun eğik kesimlerindeki durumu incelmek istiyoruz. Dik kesitteki gerilmelere 1 indisi ekleyerek şöyle yazabiliriz.
σ =N/F
Dik kesiti dış normali, çubuğun z ekseni doğrultusunda idi. Eğik kesitin eğimini tanımlamak için bu kesitin dış normalinin z ile yaptığı Ø açısını kullanacağınız ( şekil 2.1d). Eğik olan kesitin F’ alanı daha büyüktür ve iz düşüm şartından
F’= F/ cos Ø ( 2.1 )
yazılır. Normal kuvvet eğik alanı üzerine de düzgün yayılacağından birim alana gelen kuvvet, yani eğik gerilme
tØ= N/F’ =N/(F/cosØ) =(N/F)xcosØ =σ1xcosØ ( 2.2 )
olur. Yüzeye göre eğik olan bu gerilmeleri yüzeye normal ve yüzey içinde iki bileşene ayırırsak ( Şek. 2.1 e )
σ = tØ x cos Ø
τ = -tØ x sin Ø ( 2.3 )
elde edilir. Görüldüğü gibi eğik kesitlerde normal gerilmeden başka kayma gerilmeleri de bulunmaktadır. Kayma gerilmelerine konan eksi işareti, bir işaret kabulünden doğmaktadır. Kayma gerilmesi için pozitif yönü şöyle tanımlıyoruz: Yüzeyin dış normalini matematik pozitif yönde ( saat ibrelerinin tersi yönünde ) yüzey üstüne getirmekle elde edilen yön, kayma gerilmeleri için pozitif yöndür ( şek. 2.2 ).
( 2.2) deki tØ değeri ( 2.3 ) de yerine konursa
σ = σ1 x cos²Ø
τ = - σ1 x sinØ x cosØ ( 2.4 )
elde edilir. Böylece eğik kesitlerdeki σ ve τ, dik kesitteki σ1 değerine bağlı olarak ifade edilmiş olmaktadır.
Eğik kesitlerde kayma gerilmeleri meydana gelişini şu deney gayet iyi açıklar ( Şekil 2.3): dik kesitle ayrılmış bir çubukta P kuvveti iletilebildiği halde eğik kesitle ayrılmış iki parçada yükü iletmek mümkün olmaz. Bu kayma etkisi, kesilmemiş çubukta malzeme tarafından taşınmaktadır.
( 2.4 ) formülleri Ø’ nin 0º ile 360º arasındaki bütün değerleri için doğrudur. Ø yerine Ø+180º konursa karşı yüzeydeki ( şek 2.4 ) gerilmeler elde edilir. Karşı yüzeydeki gerilmeler birbirinin aynı olmalıdır, formülde bu sonucu verir:
σØ + 180º = σØ
τØ + 180º = τØ ( 2.5 )
Yönleri ise birbirinin aksidir.
Birbirine paralel kesitlerde Ø aynı olduğundan gerilmeler aynıdır.
Birbirine dik olan iki kesitteki kayma gerilmeleri arasındaki bağıntı ilginçtir.
τØ + 90º = - σ1 x sin (Ø + 90º ) x cos ( Ø + 90º )
= - σ1 x cos Ø x ( -sinØ ) = - τØ
τØ + 90º = -τØ ( 2.6 )
O halde dik iki yüzeydeki kayma gerilmeleri şiddetçe aynı, işaretçe terstir.
2.2 İki Eksenli Gerilme Hali : Bir çubuğu keserek bir eksenli gerilme halini inceledik. Şimdi çubuk kavramını bir yana bırakılarak iki doğrultuda gerilme etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alacağız ( Şek. 2.5 ) bu cisim bir plak veya kabuğun bir parçası olabilir; fakat aynı zamanda bir çubuk içindeki elemanda olabilir.
Şimdi cismin içinde, σ1 ile Ø açısı yapan bir yüzey üzerindeki gerilmeleri hesaplamak istiyoruz ( şek. 2.6 a) bunun iki tane bir eksenli gerilme halinin toplamı olarak bulmak mümkündür.
Yalnız σ1 gerilmeleri etkisindeki cisim için ( Şek. 2.6 b) Ø eğimindeki yüzeyde meydana gelen gerilmeler ( 2.4 ) gereğince
σ = σ1 x cos² Ø
τ´ = -σ1 x sinØ x cosØ
olur. Yalnız σ2 gerilmeleri etkisindeki cisimde ( şek. 2.6 c ) yine ( 2.4 ) formülleri kullanılabilir; ancak bu defa Ø yerine – ( 90º-Ø ) koymak gereklidir o halde
σ´´ = σ2 x cos² [-( 90-Ø)]
τ´´ = -σ2 x sin [-(90-Ø)] x cos x [-( 90-Ø)]
olur.
Cos [- ( 90-Ø ) ] = sinØ, sin [- ( 90-Ø ) ] = - cosØ
Olduğundan
σ´´ = σ2 x sin²Ø
τ´´ = σ2 x sinØ x cosØ
elde edilir.σ1 ve σ2’ nin bir arada bulunması halinde
σ = σ´ + σ2´´, τ = τ´ + τ´´ olacağından
σ = σ1 x cos²Ø + σ2 x sin²Ø
τ = -σ1 x sinØ x cosØ + σ2 x sinØ x cosØ ( 2.7 )
elde edilir.
2.3 Bir Noktadaki Gerilme Hali: σ1 ve σ2 gerilmeleri etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alalım ( Şek. 2.7 ). Cismin içindeki bir A noktasındaki gerilme halini bilmek, o noktadan geçen her eğimdeki yüzeyde bulunan gerilmeleri bilmek demektir. Bundan önceki kısımda çıkarılan formüller, σ1 ve σ2 verilince her hangi bir açık yüzeydeki gerilmeleri bulmak olanağını vermektedir şu halde bir noktadaki iki eksenli gerilme hali üç sayının verilmesi ile belirli olmaktadır. Bu üç sayı σ1, σ2, Ø olmak zorunda değildir. Gerçekten, A noktasını içine alan sonsuz küçük bir prizma alalım ve bunun yüzeylerinin normalini x ve y ile gösterelim ( şek. 2.7 a ). Bu yüzeylerdeki normal gerilmeler σx ve σy olsun. Kayma gerilmelerini iki indisle göstermek gerekmektedir. Birinci indis, gerilmenin etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu, ikincim indis kendi doğrultusunu göstermektedir. Böylece ortaya çıkan τxy ve τyx kayma gerilmelerinin birbirine eşit olduğunu biliyoruz:
τxy = τyx
şimdi prizmanın yüzeylerindeki gerilmeleri σ1, σ2, Ø cinsinden hesaplayalım.x normalinin açısı Ø, y normalimin açısı Ø + 90º olduğundan
σ x = (σ1 + σ2)/2 + (σ1 –σ2 )/2xcos2Ø
σ y = (σ1 + σ2)/2 - (σ1 –σ2 )/2xsin2Ø
τxy =-(σ1 –σ2 )/2xcos2Ø (2.8)
bulunur.
Formüllerin yerine mohr dairesi kullan ılınırsa Şek.2.7c de gösterildiği üzere bir çapın iki ucunda bulunan C´ ve C´´ noktalarının apsis ve ordinatlarına geliriz.
2.4 Üç Eksenli Gerilme Hali: Cismin içindeki bir noktadan çıkarılan bir küp üzerinde genel olarak her yüzey üzerinde gerilme vardır. Bu gerilme bileşenleri Şek. 2.11’ de gösterilmiştir. Daha öncede söylediğimiz gibi, τ’ lardaki ilk indis etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu ikini indis kendi doğrultusunu göstermektedir. Şek. 2.11 incelenirse, bir noktadaki gerilme halini karakterize etmek için 9 büyüklüğün bulunduğu görülür. Bir vektörün üç bilileşenle belli olduğu düşünülürse bir noktadaki gerilme halini vektörden de farklı bir büyüklük olduğu anlaşılır. Böylece 9 bileşenle beliren ve koordinat dönüşümünde belirli özellikler sağlayan büyüklüklere tansör denir. Gerilme tansörünün matris gösterimi
σx τxy τxz
τyz σy τyz
τzx τzy σz ( 2.7 )
şeklindedir. Ayrıca, daha önce yapıldığı gibi moment denge denklemleri kullanılarak
τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz ( 2.8 )
olduğu gösterilebilir. Bu gerilme tansörünün simetrik olduğunu ifade eder.
2.5 Bazı Özel Gerilme Halleri: Şek. 2.12’ de bazı önemli gerilme hallerine ait mohr diyagramları çizilmiştir bunları kısaca gözden geçireceğiz.
a) Basit çekme ve basit basınç ( Şek. 2.12 a ). Bunlar tek eksenli gerilme halleridir. Normal kuvvet halinde bu durum ortaya çıkar. En büyük kayma gerilmesi 45º eğimli kesitlerde meydana gelir.
b) İki doğrultuda eşit çekme veya eşit basınç.σ1 = σ2, σ3 = 0 halidir. Çekme olması hali Şek. 2.12 b’ de gösterilmiştir; basınç halinde sadece işaret değişir. Bu haller gerilmesiz ( σ3 = 0) yüzeye dik kesilen yüzeylerde kayma gerilmesi bulunmaz.
c) Basit kayma ( Şek. 2.12 c ) iki eksenli gerilme halinde yüzeylerde yalnız kayma gerilmesi olması halidir. Asal gerilme bakımından σ2 = -σ1, σ3 = 0 olması halidir. Büyük mohr dairesinin merkezi, koordinat başlangıcında olur.
d) Hidrostatik çekme veya basınç.σ1 = σ2 = σ3 olması halidir. Eğer gerilmeler basınç ise bu hal sıvı basıncı etkisindeki bir elemanda meydana geldiğinden hidrostatik basınç hali adı verilmiştir. Aynı isim benzer olarak çekmeye de uygulanmaktadır. Bu halde mohr dairesi bir noktaya dejenere olur. ( Şek. 2.12 d ). Bütün kesitlerdeki normal gerilmeler birbirine eşit olur, kayma gerilmeleri ise sıfırdır.
2.6 Şekil Değiştirme: Dış kuvvetlerin etkiyle cisimlerin şekil değiştirdiklerini biliyoruz. Normal kuvvet halinde cismin bütününün boyut değiştirmesini hesaplamıştık. Şimdi cisimlerin düzlemsel şekil değiştirmesini daha yakından inceleyeceğiz.
Bir cismin bir A noktasını ve bu noktadan geçen birbirine dik AB ve AC doğrultularının göz önüne alalım (Şek. 2.13 ).A,B,C noktaları yer değiştirsin ve A´, B´, C´ noktalarına gitmiş olsun. Eğer A´B´, AB den büyük ise bu doğrultuda bir boy değiştirme vardır. Keza, eğer < B´A´C´,< BAC den farklı ise bir açı değiştirmesi vardır. İşte şekil değiştirme, boy değiştirmesi ve açı değiştirmesi olmak üzere bu iki tipe göre tanımlanır.
Yer değiştirme, doğrudan doğruya noktaların yeni konumunu tanımlar. AA´ ye yer değiştirme diyoruz. Yer değiştirme ile şekil değiştirme arasında bağıntı vardır. Ancak şekil değiştirme noktaların bağıl konumları arasında değişme olmasına bağlıdır. Hiç şekil değiştirme yapmayan bir yer değiştirmeye rijit yer değiştirme adı verilir.
Boy değiştirmenin ölçülme şeklini daha önce görmüştük. Bunun için birim uzamayı (uzama oranı ) göz önüne alıyorduk. A noktası köşe olarak üzere lx, ly, lz kenarlı küçük bir prizma göz önüne alalım (Şek. 2.14 ). lz kenarı kağıt düzlemine diktir. Şekil değiştirmeyi bulmak için A dan geçen bir doğrultudaki boy uzamasını bilmek yetişmez. Ona dik doğrultudaki şekil değiştirmeyi de bilmek gerekir. Böylece şekil değiştirmenin üç bileşeni şöyle olur.
(1) x doğrultusundaki birim uzama. Bu doğrultudaki ilk boy lx, boydaki uzama δx ise
єx = δx/lx (2.9)
olur.Uzama yerine kısalma olunca єx in negatif olacağı önceden bilinmektedir.
(2) y doğrultusunda ki birim uzama. Bu doğrultudaki ilk boy ly, boydaki uzama δy ise
єy = δy/ly (2.10)
olur.
(3) xy doğrultusundaki açı değiştirme. Bunu daha önce işlemiştik. Açı değiştirme, dik bir açıdaki küçülme miktarı ile ölçülmektedir. Açı küçülüyorsa pozitif sayılmaktadır. Açılar radyan ile ölçüldüğüne göre boyutsuz bir büyüklüktür. İki doğrultuyu ilgilendirdiği için iki indis konarak γxy veya γyx ile gösterilir.şu halde şek. 2.14 c den
γ1+γ2 = γxy = π /2 – B´A´C´ (2.11)
olur.
2.7 Genel Hooke Kanunları :Normal kuvvet halinde Hooke kanununun, normal gerilme ile birim uzamanın orantılı olması şeklinde açıkladık :
є = σ/E
Şimdi bir noktadaki gerilmeyi belirten altı büyüklük ile bu noktadaki şekil değiştirmeyi belirten altı büyüklük arasında, kısacası gerilme ve şekil değiştirme tansörleri arasında bir bağıntı kurmak istiyoruz .bu bağıntılar yine benzer orantılılık kanunu olacaktır.
x doğrultusunda etkiyen bir σx gerilmesi, o doğrultuda bir uzama getirdikten başka y ve z doğrultularında da meydana getiriyordu (Şek. 2.15 ). Bunlarda göz önünde tutulur ve σx’ den başka σy’ nin de var olduğu düşünülürse birim uzamalar şöyle elde edilir:
єx = 1/E [σx - ν ( σy + σz )]
єy = 1/E [σy - ν (σx + σz )]
єz = 1/E [σz – ν (σx + σy)]
2.8 Şekil Değiştirme Enerjisi: Cisme etkiyen dış kuvvetler cismin, şekil değiştirmesi sırasında bir iş yaparlar. Bu iş cisimde depo edilir ve geriye alınabilir. Buna elastik enerji veya şekil değiştirme enerjisi adını veriyoruz.
Bütün cisimdeki şekil değiştirme enerjisi, cismin küçük elemanlarındaki enerjinin toplamı, inteğralidir. Bu bakımdan önce bir küçük hacim elemanındaki enerjinin hesabını göreceğiz.
Bu arada işin, kuvvetin yol üzerindeki iz düşümü ile yolun çarpımına ait olduğunu hatırlayalım. Kuvvetin izdüşümü yol boyunca sabit kalıyorsa iş hesabı basit bir çarpımdan ibaret olur. Kuvvet değişken ise işi bir inteğral ile hesaplamalıdır ( Şek. 2.16 ):
U1→2 = ∫Pt’ds = ( Pt)ort. (s2-s1)
4.9 Mukavemet Hipotezleri: Yapılarda kullanılan malzemenin bir dayanma sınırı vardır: Gerilmeler beliril bir sınıra gelince malzeme işe yaramaz hale gelir. Bu dayanma sınırı, sünek malzemenin akma gerilmesi, gevrek malzemede kırılma gerilmesidir. Malzeme bir eksenli gerilme halinin etkisinde ise bu sınır gerilmesini bulmak kolaydır. Çekme ve basınç halinde laboratuarda deneyler yapılarak bu sınırlar bulunur. Bu sınır gerilmeleri σm ve σm´ ile göstereceğiz. Burulma yardımıyla kayma mukavemetinde bulmak mümkün olur ancak yapıdaki malzemenin herhangi bir noktasındaki gerilmeler her zaman bir eksenli değildir.σ1, σ2, σ3 gibi üç eksenli gerilme halinin etkisindeki bir cisim için ise kolayca bir hükme varmak mümkün değildir. Çok eksenli gerilme hallerinde, laboratuarda deneyle sonuca ulaşmak çok zor hatta imkansızdır; üstelik gayet karışık araçlara ihtiyaç gösterir. Üç eksenli gerilme hallerinden sadece hidrostatik basınç haline ait deneyler nispeten kolayca yapılmaktadır bu halde basınç ne kadar yükselirse yükselsin malzemenin dayandığı saptanmıştır.
__________________