sEmih
Kayıtlı Üye
Birden ve kendisinden başka sayıya bölünmeyen sayılara asal sayı denir1. Örneğin 17 asaldır, çünkü 1 ve 17den başka sayıya (tam olarak) bölünmez. Öte yandan 35 asal değildir, 5e ve 7ye bölünür. Teknik nedenlerden 1 asal kabul edilmez.
100den küçük asalları bulmak pek zor değildir. İşte o asallar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Demek ki 100den küçük 25 tane asal varmış. Yani 100den küçük rastgele seçilmiş bir sayının asal olma olasılığı 1/4tür.
Matematiksel kanıtlar arasında bir güzellik yarışması yapılsa, Öklidin (MÖ. 300) sonsuz tane asal sayı vardır önermesinin kanıtı hiç kuşkusuz ilk on sırada yer alırdı. Bu teorem Öklidin ünlü Öğeler adlı yapıtının dokuzuncu cildinde kanıtlanır. Öklidin teoreminin güzelliğinin göklere çıkarılmadığı ve kanıtlanmadığı popüler matematik kitabı yok gibidir. Birazdan bu güzel teoremi ve çok daha fazlasını kanıtlayacağız.
Bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlarız? Sayımıza n diyelim. nyi nden küçük sayılara bölmeye çalışalım. Eğer nden küçük, 1den büyük bir sayı nyi tam bölüyorsa, n, tanımı gereği, asal olamaz. Öyle bir sayı bulamazsak, n asaldır.
Ne var ki bu yöntemle büyük sayıların asallığına karar vermek çok zaman alır. Bu yöntem ve çeşitlemeleri dışında bir sayının asallığına karar verebilecek genel bir yöntem de bilinmemektedir. Örneğin, şu çeşitleme düşünülebilir: nyi nden küçük her sayıya böleceğimize, nyi √nden küçük sayılara bölmeye çalışabiliriz. Çünkü n = ab ve a ≥ √n ise, b ≤ √ndir. Dolayısıyla n asal değilse, √nden küçük bir sayıya bölünür. Böylece yapmamız gereken bölme sayısı azalır. Bir başka kolaylık da şöyle sağlanabilir: nnin asal olup olmadığına karar vermek için nyi √nden küçük her sayıya bölmeye çalışacağımıza, √nden küçük asallara bölmeye çalışmamız yeterlidir. Bu birazdan kanıtlayacağımız birinci teoremden çıkar. Böylece, nnin asallığına karar vermek için yapmamız gereken bölme sayısı daha da azalır. Öte yandan bu yöntemi kullanabilmek için √nden küçük asalları bilmek gerekir. Bu asalları bildiğimizi varsaysak bile, bölme sayısı gene de büyük sayılar için çok fazladır. Örneğin, n = 100.000.000.001in asal olup olmadığını anlamaya çalıştığımızı varsayalım bir an. Eğer n asal değilse ve küçük bir asala (örneğin 97ye) bölünebiliyorsa, nnin asal olmadığına oldukça çabuk karar veririz. Ama ya n asalsa ya da küçük bir asala bölünmüyorsa? Onbinlerce bölme işlemi yapmamız gerekecek.
Yukarda açıkladığımız yöntem Yunanlı matematikçi Eratosthenes tarafından M.Ö. 3. yüzyılda bulunmuştur. Bu yöntemle 50 rakamlı bir sayının en gelişmiş bilgisayar yardımıyla asal olup olmadığını anlamak trilyonlarca yıl alır. Yaşam gerçekten kısa!
Bazı özel sayıların asallığına karar vermek için özel yöntemler geliştirilebilir. Örneğin son rakamı çift olan bir tek asal sayı vardır, o da 2dir. Çünkü son rakamı çift olan bir sayı 2ye bölünür.
Asal olmayan sayılara bir başka örnek vereyim. xa 1 biçiminde yazılan sayılar x 1e bölünürler:
xa 1 = (x 1)(xa1 + xa2 + ... + x + 1).
Dolayısıyla, bir a > 1 sayısı için, xa 1 biçiminde yazılan bir sayının asal olabilmesi için xin 2 olması gerekmektedir. Madem öyle, 2a 1 biçiminde yazılan sayılara bakalım. Bu sayılar asal mıdır?
Sav: Eğer a asal değilse 2a 1 de asal olamaz.
Kanıt: Bunu kanıtlamak için önce a = bc yazalım. a asal olmadığından bu eşitliği sağlayan b ve c sayıları vardır. Sonra xi 2b olarak tanımlayıp küçük bir hesap yapalım: 2a 1 = 2bc 1 = (2b)c 1 = xc 1. Ama xc 1 sayısının x 1e bölündüğünü yukarda görmüştük. Demek ki 2a 1, x 1e bölünür ve asal olamaz. Dolayısıyla, 2a 1in asal olması için anın asal olması gerekmektedir. Kanıtımız bitmiştir.
Asal bir a için 2a 1 biçiminde yazılan sayılara Mersenne sayıları denir2. Peki, a asalsa,
Ma = 2a 1
olarak tanımlanan sayı da asal mıdır? İlk Mersenne sayılarına bakalım:
M2 = 3
M3 = 7
M5 = 31
M7 = 127
Bu sayıların herbiri asal. Ama bundan sonraki ilk Mersenne sayısı, yani M11, asal değil: M11 = 23 × 89.
Hangi asallar için Ma asaldır? Yanıt bilinmiyor.
1972de M19937in asal olduğunu Bryant Tuckerman bilgisayar yardımıyla keşfetti.
1975te, on beş yaşında iki lise öğrencisi, Laura Nickel ve Curt Noll, M19937in o zamana dek bilinen en büyük asal olduğunu bir gazeteden öğrenince, çalışmaya koyuldular ve üç yıl sonra, 1978te, bilgisayarlarını 350 saat çalıştırdıktan sonra, M21701in asal olduğunu buldular. Ve birdenbire ünlendiler.
Şubat 1979da Noll, M23209un asal olduğunu buldu.
İki ay sonra, Slowinski M44497nin asal olduğunu gösterdi.
Mayıs 1983te Amerikalı David Slowinski, M86243ün asal olduğunu, bilgisayar yardımıyla tam 1 saat 3 dakika 22 saniyede kanıtladı. Ama 86.243 sihirli sayısını bulmak için aylarca uğraştı. Bilinen klasik yöntemle (yani kendisinden küçük sayılara bölmeye çalışarak) bu sayının asal olduğunu kanıtlamak, evrenin ömrünü aşardı! M86243ün tam 25.962 rakamı olduğunu da ayrıca belirtelim. Bu kadar bozuk parayı üstüste yığsanız, para kuleniz evrenin sınırlarını aşar! [43]
Yukardaki asalı bulan Slowinski, 19 Eylül 1983te M132049un asal olduğunu bilgisayarlarla anladı. Bundan çok daha önce, Manfred Schroeder adlı bir matematikçi, matematiksel yöntemlerle, sezgisinin de yardımıyla, 2130.000 - 1 civarlarında bir asal olduğunu tahmin etmişti zaten.
Mart 1992de M756839un asal olduğu anlaşıldı.
12 Ocak 1994te, Paul Gage ve yine David Slowinsky bilgisayar ağlarında M859433ün asal olduğunu kanıtladıklarını duyurdular. Hesaplarını gene bilgisayarla yapmışlardı elbet.
Şimdi, So = 4, Sk+1 = Sk2 - 2 olsun. Örneğin, S1 = 42 -2 = 14tür. Bunun gibi, S2 = S12 -2 = 142 -2 = 194tür. Bir q asalı için, Mqnün asal olması için gerekli ve yeterli koşul, Mqnün Sqyü bölmesidir. Bu teste Lucas testi denilir. Lucas testi sayesinde çok büyük asallar oldukça kolay sayılacak işlemlerle bulunabilir.
Bu sonuçlara bilgisayarlara güvenebildiğimiz derecede güvenebiliriz elbet. Bilgisayarlar da hata yaparlar!
Büyük sayıların asal olup olmadıklarını anlamak, şifreli mesajlarda (kriptoloji) çok önemlidir ve gelişmiş ülkelerin orduları bu yüzden asal sayılarla çok ilgilenirler. Gizli mesaj yollamak isteyen, mesajıyla birlikte iki büyük asal sayının çarpımını da yollar. Şifreyi çözmek için, şifreyle birlikte yollanan sayıyı bölen o iki asalı bilmek gerekir, ki bu da dışardan birisi için (sayılar büyük olduğundan) hemen hemen olanaksızdır. İki sayıyı çarpmak kolaydır ama bir sayıyı çarpanlarına ayırmak çok daha zordur.
Şifrelemede Mersenne sayıları kullanılmaz. Çünkü az sayıda (30 küsur tane olmalı) asal Mersenne sayısı bilindiğinden, şifreyle birlikte yollanan sayının asal bir Mersenne sayısına bölünüp bölünmediğini anlamak kolaydır.
Asal olmayan bir sayıyı bölenlerine ayırmanın Fermatnın bulduğu şu yöntem vardır. Eğer n sayısı iki pozitif doğal sayı için x2 - y2 biçiminde yazılıyorsa, o zaman,
n = (x - y)(x + y)
eşitliği doğrudur ve x, y +1 olmadığı sürece, nyi çarpanlarına ayırmış oluruz. Bunun tersi de aşağı yukarı doğrudur. Eğer n = ab ise ve n çift değilse, o zaman,
x =
ve
y = -
alarak, n = x2 - y2 eşitliğini elde ederiz. Demek ki, çift olmayan bir n doğal sayısını çarpanlarına ayırmak için, n = x2 - y2 eşitliğini sağlayan x ve y bulmalıyız. Bu eşitlik yerine y2 = x2 - n yazalım ve x yerine teker teker sayıları koyup x2 - n sayısını hesaplayalım. Bu sayı tam bir kare (y2) olduğunda n = x2 - y2 eşitliğini bulmuş oluruz. Elbette xin √nden büyük olması gerekmektedir, yoksa x2 - n pozitif bile olamaz. Ayrıca, x2 - n sayısının tam bir kare olması için 0, 1, 4, 5, 6 ve 9la bitmesi gerekmektedir, 2, 3, 7 ve 8le biten sayılar kare olamazlar.
Bu yöntemi n = 91 için deneyelim. x > √91 olması gerektiğinden, x = 10dan başlamalıyız. x = 10 ise, x2 - n = 102 - 91 = 9 = 32 dir ve y = 3 olabilir. Demek ki,
91 = n = 102 - 32 = (10 - 3)(10 + 3) = 7 × 13
eşitliği geçerlidir.
Aynı yöntemi n = 143 için deneyecek olursanız, gene yanıtı hemen bulursunuz: x = 12, y = 1.
Mersenne sayılarına çok benzeyen başka sayılara bakalım. 2a + 1 biçiminde yazılan sayılar asal mıdır? Bu sayıların hangi alar için asal olduklarını bilmiyoruz ama hangi alar için asal olamayacaklarını biliyoruz: Eğer a, 2nin bir gücü değilse, yani 2n biçiminde yazılamazsa, bu sayılar asal olamazlar. Bunu birazdan kanıtlayacağız (Teorem 9.) Fermat,
Fn =
biçiminde yazılan bütün sayıların asal olduklarını sanıyordu. Bu yüzden bu sayılara Fermat sayıları denir. Gerçekten de ilk beş Fermat sayısı,
Fo = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
asaldır. Fermat, bütün Fermat sayılarının asal olduklarını kanıtlamaya uğraştı ama başaramadı. Başarısızlığının nedeni vardı: Sanısı doğru değildi. F5 asal değildir. F5 on basamaklı bir sayı olduğundan asallığını kanıtlamak kolay değildi. Euler (1707-1783), F5in 641e bölündüğünü gösterdi:
F5 = 641 × 6700417.
Demek ki a = 2n biçiminde yazılabilse bile, 2a + 1 asal olmayabiliyor.
Lucas F6nın asal olmadığını kanıtladı. Daha sonra, 1880de, Landry,
F6 = 274177 × 67280421310721
eşitliğini buldu. F7 ve F8 de asal değiller. Bu sayıların asal olmadıkları, çok geç bir tarihte, 1970 ve 1981de anlaşıldı. W. Keller, 1980de F9448in asal olmadığını gösterdi. Bu sayı 19 × 29450 + 1e bölünür. 1984de gene W. Keller, F23471in asal olmadığını kanıtladı. Bu sayının 107000den fazla basamağı vardır ve 5 × 223473 + 1e bölünür.
n ≥ 5 için, asal bir Fnnin olup olmadığı şimdilik bilinmiyor. Asallığı bilinmeyen en küçük Fermat sayıları şunlar: F22, F24, F28.
Son yıllarda bir sayının asallığına yüzde olarak oldukça çabuk karar verebilen yöntemler geliştirildi. Örneğin, Şu sayı yüzde 99,978 olasılıkla asaldır, gibi önermeler bilgisayarların yardımıyla oldukça kısa sayılabilecek zamanda kanıtlandı. Bu konuda bilgim kısıtlı olduğundan daha fazla söz söyleyemeyeceğim.
11, 111, 1111, 11111 gibi her rakamı 1 olan sayılar asal mıdır? İçinde n tane 1 olan sayıya Bn diyelim. Eğer çift sayıda 1 varsa, yani n çiftse, Bn, 11e bölünür ve B2 dışında bunlardan hiçbiri asal olamaz. Eğer n üçe bölünüyorsa Bn de üçe bölünür ve asal olamaz.
Hangi nler için Bn asaldır? Bu asallardan kaç tane vardır? B2, B19, B23, B317, B1031 asal sayılar, bu biliniyor. Bunlardan başka? Ben bilmiyorum. Bu sayılardan daha büyük bir asal varsa, n > 10.000 olması gerektiğini Harvey Dubner adlı biri kanıtlamış, daha doğrusu hesaplamış. [43]
Asallar matematikte çok önemlidir elbet. Bu yazıda bu önemli konuda bir iki teorem kanıtlayacağız. İlk teoremimizi okurların çoğu biliyordur.
Teorem 1. 1den büyük her sayı3 bir asala bölünür.
Kanıt: Bunun kanıtı oldukça kolaydır: a > 1 bir sayı olsun. anın bir asala bölündüğünü kanıtlamak istiyoruz.
Eğer a asalsa bir sorun yok: a, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur (a bir asala (kendisine!) bölünür.)
Eğer a asal değilse, ayı bölen ve 1 < b < a eşitsizliklerini sağlayan bir b vardır. Eğer b asalsa bir sorun yok: b, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.
Eğer b asal değilse, byi (ve dolayısıyla ayı da) bölen ve 1 < c < b eşitsizliklerini sağlayan bir c vardır. Eğer c asalsa bir sorun yok: c, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.
Eğer c asal değilse, cyi (ve dolayısıyla ayı da) bölen ve 1 < d < c eşitsizliklerini sağlayan bir d vardır. Eğer d asalsa bir sorun yok: d, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.
Eğer d asal değilse.......
Nereye dek gidebiliriz? Bulacağımız her sayı bir öncekinden küçük ve 1den büyük olduğundan sonsuza dek bunu böyle sürdüremeyiz. Bir zaman sonra durmalıyız, yani bir zaman sonra ayı bölen bir asal buluruz. Teoremimiz kanıtlanmıştır. ?
Birazdan yukarda güzelliğinden sözettiğimiz Öklid Teoremini kanıtlayacağız: Sonsuz tane asal sayı vardır. Aynı yöntemle başka sonuçlar da çıkaracağız. İlk önce biraz ilkokul aritmetiği yapalım.
Eğer a ve b sayıları nye bölünüyorsa, bu iki sayının toplamı da nye bölünür. Örneğin hem 78, hem 66 üçe bölündüğünden, 78 + 66 da, yani 144 de, üçe bölünür.
Öte yandan eğer a ve b sayılarından yalnızca biri nye bölünüyor, öbürü bölünmüyorsa, bu iki sayının toplamı nye bölünmez. Örneğin 78 üçe bölünür, 67 bölünmez. Dolayısıyla 78 + 67 üçe bölünmez.
Bir üst paragraftaki byi 1 olarak alırsak, ayı bölen 1den büyük bir sayının a + 1i bölemeyeceği çıkar. Demek ki a ve a+1 sayılarının 1den başka ortak böleni yoktur.
Hem ikiye, hem de üçe bölünen bir sayıya 1 eklersek, elde ettiğimiz sayı ne ikiye ne de üçe bölünür. Bunun gibi, 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7, yani 5040, 2ye, 3e, 4e, 5e, 6ya, 7ye bölünür, ama bu sayıya 1 ekleyerek elde ettiğimiz 5041, bunlardan hiçbirine bölünmez.
Aynı şey a ve a 1 sayıları için de geçerlidir. Örneğin, 5040ı bölen 1den büyük hiçbir sayı 5039u bölemez.
5039 ve 5041 sayılarının 7 ve 7den küçük hiçbir asala bölünmediklerini gördük. Öte yandan, Teorem 1e göre, bu sayılardan herbiri bir asala bölünmeli. Demek ki 7den büyük bir asal vardır. Bunun gibi 2yle 11 arasındaki sayıların çarpımına 1 eklersek, elde edilen sayı bir asala bölünür ve bu asal 11den büyük olmak zorundadır. Bu akıl yürütmeyi genelleştireceğiz:
Teorem 2. Sonsuz tane asal sayı vardır.
Kanıt: n > 1 herhangi bir sayı olsun. 2den nye kadar bütün sayıları birbiriyle çarpalım: 2 × 3 × ... × (n2) × (n1) × n. Kocaman bir sayı elde ettik. Bu sayı n! olarak simgelenir. n! sayısı n + 1den küçük bütün sayılara bölünür elbet, çünkü n! bu sayıların çarpımı. Demek ki n! + 1 sayısı 1le n arasındaki hiçbir sayıya bölünemez. Öte yandan, Teorem 1e göre n! + 1 sayısı bir asala bölünmeli. Demek ki nden büyük bir asal vardır.
Ne bulduk? Her sayıdan büyük bir asal bulduk. Dolayısıyla sonsuz tane asal vardır, çünkü her asaldan büyük bir başka asal vardır. İkinci teorem kanıtlanmıştır. ?
Ne denli yalın bir kanıt değil mi? Ve şaşırtıcı. Şu nedenden şaşırtıcı: Kanıt, nden sonra gelen ilk asalı bulmuyor; yalnızca nden büyük bir asalın varlığı kanıtlanıyor. Örneğin 1 milyondan büyük bir asal vardır. Hangi asal? Yanıt yok! Kanıt, hangi asalın 1 milyondan büyük olduğunu göstermiyor. Öyle bir asal var demekle yetiniyor.
Aslında kanıtımız nden büyük asallar üzerine hiç de bilgi vermiyor değil. En azından, her n için, n < p ≤ n! + 1 eşitsizliklerini sağlayan bir p asalının olduğunu kanıtlıyor.
Teorem 3. Her n > 1 için, n < p ≤ n! + 1 eşitsizliklerini sağlayan bir asal vardır. ?
Hangi n asal bir sayıları için n! + 1 asaldır? Bence bu pek ilginç bir soru değil ama, meraklılar böyle sorular soruyorlar. Yanıt bilinmiyor. 1987de H. Dubner, n = 13649 için, ki bu asal bir sayıdır, 5862 basamaklı n! + 1 sayısının asal olduğunu gösterdi.
Yukardaki teoeremde, n! + 1 sayısını biraz daha küçültebiliriz. Teorem 2nin kanıtının hemen hemen aynısı, n! yerine, nden küçük ya da eşit asalların çarpımını alabileceğimizi gösteriyor. Örneğin, n = 29 ise,
29 < p ≤ 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29 + 1
eşitsizliğini sağlayan bir asal vardır.
Bütün bunlar akla bir başka soru getiriyor. Ardarda gelen, örneğin, her bin sayıdan en az biri asal mıdır? Başka bir deyişle, n herhangi bir sayıysa,
n + 1, n + 2, n + 3, ..., n + 1000
sayılarından biri asal mıdır?
Bu soruyu yanıtlamak için yeterli bilgiye sahibiz. Yanıt olumsuzdur. Yanıtın olumsuz olduğunu kanıtlayalım.
Bir örnekle başlayalım. 7! = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7, yani 5040, 2ye, 3e, 4e, 5e, 6ya ve 7ye bölünür. Dolayısıyla
5042, 2ye
5043, 3e
5044, 4e
5045, 5e
5046, 6ya
5047, 7ye
bölünür ve bu sayılardan hiçbiri asal olamaz. Bunun gibi, aşağıdaki bin sayı,
1001! + 2, 1001! + 3, ... , 1001! + 1001
sırasıyla 2ye, 3e, ..., 1001e bölünürler ve hiçbiri asal olamaz. Bu yaptığımızı genelleştirmek işten bile değildir:
Teorem 4. Ardarda gelen her n sayıdan birinin mutlaka asal olduğu bir n yoktur.
Asallarla ilgili bir başka soruya geçelim. Sayıları üç kümeye ayırabiliriz:
A kümesi = {3e bölünen sayılar }
B kümesi = {3e bölündüğünde kalanın 1 olduğu sayılar}
C kümesi = {3e bölündüğünde kalanın 2 olduğu sayılar}
Yani,
A = {3,6,9,12,15,18,...}
B = {4,7,10,13,16,19,...}
C = {5,8,11,14,17,20,...}
B kümesinden herhangi iki sayı alalım: n1 ve n2. Bu sayılar 3e bölündüğünde 1 kalıyor. Dolayısıyla n1 = 3q1 + 1 ve n2 = 3q2 + 1 olarak yazabiliriz. Şimdi n1 ve n2yi birbiriyle çarpalım:
n1n2 = (3q1+1)(3q2+1) = 9q1q2 + 3q1+3q2 +1 = 3(3q1q2+q1+q2)+1
Dolayısıyla n1n2 sayısı 3e bölündüğünde 1 kalır. Ne kanıtladık? B kümesindeki sayıların çarpımlarının gene B kümesinde olduğunu kanıtladık. Bunu kullanarak aşağıdaki teoremi kanıtlayacağız:
Teorem 5. C kümesinde sonsuz tane asal vardır.
Kanıt: C kümesindeki bir sayı, A kümesindeki bir sayıya bölünemez, çünkü A kümesindeki sayılar 3e bölünüyor, oysa C kümesindekiler 3e bölünmüyorlar. Demek ki C kümesindeki bir sayıyı bölen sayılar B ve C kümesinde olmalıdır. Ama hepsi birden Bde olamaz, çünkü Bnin öğeleri kendileriyle çarpıldığında gene Bden bir sayı verir. Demek ki C kümesinin her sayısı, gene C kümesinden bir asala bölünür.
Şimdi n ≥ 3 herhangi bir sayı olsun. n! 1 sayısını ele alalım. Bu sayıya x diyelim. x, Cdedir, çünkü, x = (n! 3) + 2 olarak yazılabilir ve n! 3 üçe bölünür. Demek ki C kümesinde xi bölen bir asal vardır. Öte yandan xi bölen sayılar nden büyüktür elbet. Ne kanıtladık? n kaç olursa olsun, C kümesinde nden büyük bir asal vardır. Yani Cde sonsuz tane asal vardır. ?
Okur buna benzer bir kanıtla aşağıdaki teoremi kanıtlayabilir:
Teorem 6. 4e bölündüğünde kalanı 3 olan sonsuz tane asal vardır.
18. yüzyılın sonlarına doğru, Fransız matematikçisi Legendre (1752-1833) son iki teoremi genelleştirmek istedi. Şu soruyu sordu:
Soru. a ve b, 1den başka ortak böleni olmayan iki sayı olsun. ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal var mıdır?
Teorem 5ten a = 3, b = 2 için, Teorem 6dan da a = 4, b = 3 için yanıtın olumlu olduğu anlaşılıyor. Legendre bu soruyu genel olarak yanıtlamak istedi. Örneğin 25x + 6 biçiminde yazılan sonsuz tane asal var mıdır? Eğer x = 1 ise 31 buluruz ki, 31 asaldır. Eğer x = 2, 3, 4 ise, sırasıyla 56, 81, 106 buluruz ve bunlardan hiçbiri asal değildir. x = 5 olduğunda 131 çıkar ve 131 asaldır.
Legendre sorunun yanıtının olumlu olduğundan hiç kuşku duymadı, ancak kanıtlamakta güçlük çekti. 1785te defterine bunu bilimsel olarak kanıtlamalı diye not düşmüş. On dört yıl sonra, 1798de, doğruluğundan kuşku duymamalıyız diye yazmış. Sonra da kanıtlamaya çalışmış. Başaramadan... İkinci denemesini Sayılar Kuramı adlı kitabına aldığını biliyoruz [26]. Ama bu denemesi de yanlış. Kanıtın yanlışlığının ne zaman anlaşıldığını bilmiyorum. 1837de, meslektaşı Legendre gibi Fransız olan G. L. Dirichlet (1805-1859) teoremi doğru olarak kanıtladı [8]:
Teorem 7. a ve b ortak böleni olmayan iki doğal sayıysa, ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal sayı vardır.
Dirichletnin yönteminden bir başka teorem daha elde edilebilir:
Teorem 8. a, b ve c ortak böleni olmayan üç pozitif doğal sayı olsunlar. ax2 + bxy + cy2 biçiminde yazılan sonsuz tane asal vardır.
Sadece ve sadece asal sayıları ve her asal sayıyı veren bir formül var mıdır? Genel olarak sanılanın tersine böyle bir formül vardır. Öyle bir formül vardır ki, bu formülle yalnız ve yalnız asal sayılar elde edilir ve her asal sayı bu formülle elde edilir. Oldukça kolay bir formüldür bu. İşte formül:
n ve m herhangi iki doğal sayı olsun.
k = m(n + 1) - (n! + 1)
olarak tanımlansın. Şimdi,
p = -|-|-- + 2
her n ve m sayısı için asaldır! Ayrıca her asal sayı bu biçimde elde edilebilir.
Bu formülle sık sık 2 elde ederiz, ama 2 dışındaki her asal sayı bu formülle ancak bir kez, yani bir tek n ve m değerleri için elde edilebilir.
Eğer k2 - 1 ≥ 0 ise, yukardaki formül hep p = 2 verir. Ama k2 - 1 < 0 ise, yani k2 < 1 ise, yani k2 = 0 ise, yani k = 0 ise, yani m(n + 1) - (n! + 1) = 0 ise, yani,
m =
ise, yukardaki formül p = n + 1 verir. Bu sayı asaldır, çünkü Wilsonın ünlü teoremine göre, mnin tamsayı olabilmesi için, yani n + 1in n! + 1i bölebilmesi için, n + 1in asal olması gerekmektedir.
Örneğin, n = 2 ve m = 1 ise, p = 3 bulunur. Eğer n = 4 ve m = 5 ise, p = 5 bulunur. Eğer, n = 6 ve m = 103 ise, p = 7 bulunur. Gelecek asalı, yani 11i bulmak için, yani p = 11 çıkması için, nnin 10 olması, mnin de
yani 329.891 olması gerekmektedir. Hangi n ve m sayıları için p = 13 bulunacağını okur kolaylıkla bulabilir.
Hardy ve Wright, bir ω = 1,9287800 sayısı için,
f =
sayısının (n tane 2 var) bir asal olduğunu gösterdiler [47]4. Örneğin f(1) = 3, f(2) = 13, f(3) = 16381. f(4)ü hesaplamak zor, basamak sayısı 5000 civarında. Öte yandan, ω sayısını belirlemek için, asal sayıları bilmek gerektiğinden, bu formül pek işe yaramaz. Gene de öyle bir ω sayısının varlığı ilginç.
Her asalı veren bir formül var ama, her asalı veren bir polinomun5 olmadığı biliniyor. Eğer katsayıları tamsayı olan her polinomun sonsuz tane asal olmayan sayı verdiği bilinir.
1772de Euler, n2 + n + 41 polinomunun n = 0,1,2, ,39 için asal sayılar verdiğini buldu. Ancak bu polinom n = 40 için 41e bölünür ve asal değildir.
Fermat sayıları üzerine bir teorem kanıtlayacağımıza sözvermiştik. Sözümüzü tutuyoruz:
Teorem 9. Eğer a = 2n biçiminde yazılamazsa, 2a + 1 asal olamaz.
Kanıt: Önce şunu belleyelim: x herhangi bir sayı ve a > 1 bir tek sayıysa, xa + 1 sayısı asal olamaz, çünkü x + 1e bölünür. Şöyle bölünür:
xa + 1 = (x+1)(xa1 xa2 + xa3 xa4 + ... x + 1.)
Şimdi anın bir tek sayıya bölündüğünü varsayalım. 2a + 1in asal olamayacağını kanıtlamak istiyoruz. ayı bölen tek sayıya m diyelim. Demek ki a = nm ve m bir tek sayı. x = 2n olsun. Küçük bir hesap yapalım:
2a + 1 = 2nm + 1 = (2n)m + 1 = xm + 1.
m tek olduğundan, ilk paragrafta gördüğümüz gibi, x + 1, xm + 1i böler. Yani x + 1, 2a + 1i böler.
Demek ki a bir tek sayıya bölünüyorsa, 2a + 1 asal olamaz. Dolayısıyla a, 2nin bir katı olmalı. ?
Asallar üzerine bildiklerimiz bilmediklerimizin yanında hiç kalır. Bildiklerimiz arasından en önemlilerinden biri Fermatnın Küçük Teoremi adıyla anılan şu teoremdir:
Teorem 10. (Fermatnın Küçük Teoremi.) n bir sayıysa ve p asalsa, p, n p n sayısını böler. Dolayısıyla eğer p, nyi bölmüyorsa, n p11i böler.
Bu teorem, n üzerine tümevarımla kolaylıkla kanıtlanabilir. Örneğin 23, 2232 sayısını böler, çünkü 23 asaldır. 23, 2yi bölmediğinden, 23, 2221 sayısını da böler. Bunun tersi doğru mudur? Yani p > 1 bir sayıysa ve p, 2p1 1i bölüyorsa, p asal mıdır? Eski Çinliler de bu soruyu sormuşlar ve yaptıkları hesaplarda p hep asal çıkmıştır. Gerçekten de 1 < p < 300 için bu doğrudur. Öte yandan p = 341 = 11 × 31 için doğru değildir: 341 asal olmamasına karşın 2340 1i böler. Demek ki Çinliler yanılmışlar. Bir iki deney yaparak matematiksel bir gerçek bulunmaz. Kanıt gerekir. [11]
Eğer p, 2p 2yi bölüyorsa ve asal değilse, pye yalancı asal adı verilir. Örneğin 341 bir yalancı asaldır6. 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905 de yalancı asallardır. Kaç tane yalancı asal vardır? Sonsuz tane vardır, çünkü eğer p bir yalancı asalsa, 2p1 de bir yalancı asaldır. Okur bunu alıştırma olarak kanıtlayabilir. Demek ki 2341 1 bir yalancı asaldır.
Her p için, 2p 1 tek bir sayıdır. Dolayısıyla yukardaki yöntemle bulunan yalancı asallar hep tektirler. Bundan da şu doğal soru çıkar: çift yalancı asal var mıdır? Evet! 1950de D.H. Lehmer 161.038in bir yalancı asal olduğunu kanıtladı. 161.038 sayısını bulmak kolay değil ama, bu sayının yalancı asallığını kanıtlamak oldukça kolay. Kanıtlayalım. 161.038in 2161.038 2yi böldüğünü kanıtlamak istiyoruz. Önce 161.038i asallarına ayıralım: 161.038 = 2 × 73 × 1103. Demek ki 73 ve 1103ün a : = 2161.0371i böldüğünü kanıtlamalıyız. 161.037yi asallarına ayıralım: 161.037 = 32 × 29 × 617 = 9 × b. Burda b = 29 × 617 olarak aldık elbet. Eğer c = 29 ise, bundan da şu çıkar: a = 2161.037 1 = (29)b 1 = cb 1. Demek ki c 1, yani 29 1, yani 511, yani 7 × 73, ayı bölüyormuş. Dolayısıyla 73 de ayı bölüyordur. Şimdi sıra 1103ün ayı böldüğünü kanıtlamakta. Aynı akıl yürütmeyi yapacağız. d : = 32 × 617 ve e = 229 olsun. Hesaplayalım: a = 2161.037 1 = (229)d 1 = ed 1. Demek ki
e 1 = 1103 × 486.737,
ayı bölüyormuş. Kanıtımız bitmiştir.
1951de N.W.H. Beeger sonsuz tane çift yalancı asal olduğunu kanıtladı.
Eğer p > 1, her n için n p nyi bölüyorsa ve asal değilse, pye çok yalancı asal adı verilir. Çok yalancı asal sayı var mıdır? Evet. En küçük çok yalancı asal sayı 561dir. 561 = 3 × 11 × 17 olduğundan 561 asal değildir. Öte yandan, 561, her n için a561561i böler. Bunu da kanıtlamak oldukça kolaydır. Kanıt için okur [23]e bakabilir.
Fermatnın Küçük Teoremine göre, eğer p asalsa,
1p1, 2p1,..., (p1)p1
sayıları pye bölündüğünde 1 kalır. Dolayısıyla bu p1 sayının toplamı olan
1p1 + 2p1+ ... + (p1) p1
sayısı pye bölündüğünde kalan p 1dir. Bunun tersi de doğru mudur? Yani n herhangi bir sayıysa ve
1n1 + 2n1 + ...+ (n1)n1
sayısı nye bölündüğünde kalan n 1 ise, n asal mıdır? 1950de Bedocchi adında bir matematikçi 1985de yanıtın n < 101700 için evet olduğunu gösterdi. Genel sorunun yanıtı bugün de bilinmiyor:
Soru: n herhangi bir sayıysa ve 1n1+2n1+ ...+(n1)n1 sayısı nye bölündüğünde kalan n 1 ise, n asal mıdır?
Gerçek asallara geri dönelim. Wilson Teoremi, hemen hemen Fermatnın Küçük Teoremi kadar önemlidir:
Teorem 11. Eğer p asalsa, p, (p 1)! + 1i böler.
Asallar üzerine yanıtı bilinmeyen bir başka soru geçeyim. Goldbach, bir mektubunda aşağıdaki soruyu Eulere sordu (1972):
Goldbach Sanısı (1): 5ten büyük her sayı üç asalın toplamına eşittir.
Euler, Goldbacha sorunun yanıtını bilmediğini, ama sorunun aşağıdaki soruyla eşdeğer olduğunu yazdı:
Goldbach Sanısı (2): 4ten büyük her çift sayı iki asalın toplamıdır.
Örneğin,
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
Yüz milyondan küçük sayılar için Goldbach sanısının doğru olduğu biliniyor. Önermenin her sayı için doğru olduğu bilinmiyor, ancak doğru olduğu sanılıyor. Bu sanıyı kanıtlayabilirseniz ölümsüzler arasında yerinizi alırsınız.
Asal sayılar üzerine dahaca çözülememiş bir başka ünlü sanı vardır:
İkiz Asallar Sanısı: Sonsuz tane ikiz asal sayı vardır.
Eğer iki asal sayının arasındaki fark 2 ise, bu iki asal sayıya ikiz denir. Örneğin, (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) ikiz asal sayılardır. Sonsuz tane ikiz asalın olup olmadığı bilinmiyor. Bilinse ne olur, bilinmese ne olur? demeyin. Yanıtı bilinmeyen her soru ilginçtir, üzerinde düşünmeye değer. İnsan yalnızca düşünen hayvan değildir, nedenli nedensiz düşünen hayvandır.
1966da, sonsuz tane asal p sayısı için, p + 2 sayısının ya asal ya da iki asalın çarpımı olduğu kanıtlandı.
Bilinen en büyük ikiz asallar 1.706.595 × 211235 ± 1 asallarıdır, 1990da Parady, Smith ve Zarantonello bulmuştur.
Üçüz asal var mıdır? (3,5,7)den başka yoktur. Okur bunu kolaylıkla kanıtlayabilir. Bir ipucu verelim: eğer n bir tamsayıysa, n, n+2, n+4 sayılarından biri 3e bölünür.
Yukarda sonsuz tane asal sayının olduğunu gördük. Gene de o kadar fazla asal sayı yoktur. Örneğin, çift sayılar (2 dışında) asal olamayacaklarından, sayıların yarısından fazlası asal değildir. 1le n arasından rastgele bir sayı seçsek, bu sayının asal olma olasılığı kaçtır? Bu olasılık nye göre değişir elbet. Eğer n = 100 ise, bu olasılığın 1/4 olduğunu yazının en başında görmüştük.
Eğer n bir tamsayıysa, π, nden küçük asalların sayısı olsun. π/n, nden küçük rastgele seçilmiş bir sayının asal olma olasılığıdır. n sonsuza gittiğinde, bu olasılığın değeri kaçtır? Okur, n büyüdükçe, asal seçme olasılığının da küçüleceğini ve n sonsuza gittiğinde bu olasılığın 0a yakınsayacağını tahmin edebilir. Bu tahmin doğrudur7:
limn→∞ π/n = 0.
Bundan çok daha iyi bir sonuç bilinmektedir. π/n ve 1/log, n büyüdükçe birbirlerine çok yakınsamaktadırlar8. Başka bir deyişle, eğer n büyükse, π aşağı yukarı n/log dur, yani π ≈ n/log. Bu sonuca Asal Sayılar Teoremi adı verilir.
Asal sayılar son derece ilginç bir konudur. Asal sayılar konusunda bilgilenmek isteyen okur [33] ve [40]a bakabilir. Hele Eulerin sonsuz tane asal sayının olduğunu (bir kez daha) kanıtlayan bir kanıtı vardır ki...
100den küçük asalları bulmak pek zor değildir. İşte o asallar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Demek ki 100den küçük 25 tane asal varmış. Yani 100den küçük rastgele seçilmiş bir sayının asal olma olasılığı 1/4tür.
Matematiksel kanıtlar arasında bir güzellik yarışması yapılsa, Öklidin (MÖ. 300) sonsuz tane asal sayı vardır önermesinin kanıtı hiç kuşkusuz ilk on sırada yer alırdı. Bu teorem Öklidin ünlü Öğeler adlı yapıtının dokuzuncu cildinde kanıtlanır. Öklidin teoreminin güzelliğinin göklere çıkarılmadığı ve kanıtlanmadığı popüler matematik kitabı yok gibidir. Birazdan bu güzel teoremi ve çok daha fazlasını kanıtlayacağız.
Bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlarız? Sayımıza n diyelim. nyi nden küçük sayılara bölmeye çalışalım. Eğer nden küçük, 1den büyük bir sayı nyi tam bölüyorsa, n, tanımı gereği, asal olamaz. Öyle bir sayı bulamazsak, n asaldır.
Ne var ki bu yöntemle büyük sayıların asallığına karar vermek çok zaman alır. Bu yöntem ve çeşitlemeleri dışında bir sayının asallığına karar verebilecek genel bir yöntem de bilinmemektedir. Örneğin, şu çeşitleme düşünülebilir: nyi nden küçük her sayıya böleceğimize, nyi √nden küçük sayılara bölmeye çalışabiliriz. Çünkü n = ab ve a ≥ √n ise, b ≤ √ndir. Dolayısıyla n asal değilse, √nden küçük bir sayıya bölünür. Böylece yapmamız gereken bölme sayısı azalır. Bir başka kolaylık da şöyle sağlanabilir: nnin asal olup olmadığına karar vermek için nyi √nden küçük her sayıya bölmeye çalışacağımıza, √nden küçük asallara bölmeye çalışmamız yeterlidir. Bu birazdan kanıtlayacağımız birinci teoremden çıkar. Böylece, nnin asallığına karar vermek için yapmamız gereken bölme sayısı daha da azalır. Öte yandan bu yöntemi kullanabilmek için √nden küçük asalları bilmek gerekir. Bu asalları bildiğimizi varsaysak bile, bölme sayısı gene de büyük sayılar için çok fazladır. Örneğin, n = 100.000.000.001in asal olup olmadığını anlamaya çalıştığımızı varsayalım bir an. Eğer n asal değilse ve küçük bir asala (örneğin 97ye) bölünebiliyorsa, nnin asal olmadığına oldukça çabuk karar veririz. Ama ya n asalsa ya da küçük bir asala bölünmüyorsa? Onbinlerce bölme işlemi yapmamız gerekecek.
Yukarda açıkladığımız yöntem Yunanlı matematikçi Eratosthenes tarafından M.Ö. 3. yüzyılda bulunmuştur. Bu yöntemle 50 rakamlı bir sayının en gelişmiş bilgisayar yardımıyla asal olup olmadığını anlamak trilyonlarca yıl alır. Yaşam gerçekten kısa!
Bazı özel sayıların asallığına karar vermek için özel yöntemler geliştirilebilir. Örneğin son rakamı çift olan bir tek asal sayı vardır, o da 2dir. Çünkü son rakamı çift olan bir sayı 2ye bölünür.
Asal olmayan sayılara bir başka örnek vereyim. xa 1 biçiminde yazılan sayılar x 1e bölünürler:
xa 1 = (x 1)(xa1 + xa2 + ... + x + 1).
Dolayısıyla, bir a > 1 sayısı için, xa 1 biçiminde yazılan bir sayının asal olabilmesi için xin 2 olması gerekmektedir. Madem öyle, 2a 1 biçiminde yazılan sayılara bakalım. Bu sayılar asal mıdır?
Sav: Eğer a asal değilse 2a 1 de asal olamaz.
Kanıt: Bunu kanıtlamak için önce a = bc yazalım. a asal olmadığından bu eşitliği sağlayan b ve c sayıları vardır. Sonra xi 2b olarak tanımlayıp küçük bir hesap yapalım: 2a 1 = 2bc 1 = (2b)c 1 = xc 1. Ama xc 1 sayısının x 1e bölündüğünü yukarda görmüştük. Demek ki 2a 1, x 1e bölünür ve asal olamaz. Dolayısıyla, 2a 1in asal olması için anın asal olması gerekmektedir. Kanıtımız bitmiştir.
Asal bir a için 2a 1 biçiminde yazılan sayılara Mersenne sayıları denir2. Peki, a asalsa,
Ma = 2a 1
olarak tanımlanan sayı da asal mıdır? İlk Mersenne sayılarına bakalım:
M2 = 3
M3 = 7
M5 = 31
M7 = 127
Bu sayıların herbiri asal. Ama bundan sonraki ilk Mersenne sayısı, yani M11, asal değil: M11 = 23 × 89.
Hangi asallar için Ma asaldır? Yanıt bilinmiyor.
1972de M19937in asal olduğunu Bryant Tuckerman bilgisayar yardımıyla keşfetti.
1975te, on beş yaşında iki lise öğrencisi, Laura Nickel ve Curt Noll, M19937in o zamana dek bilinen en büyük asal olduğunu bir gazeteden öğrenince, çalışmaya koyuldular ve üç yıl sonra, 1978te, bilgisayarlarını 350 saat çalıştırdıktan sonra, M21701in asal olduğunu buldular. Ve birdenbire ünlendiler.
Şubat 1979da Noll, M23209un asal olduğunu buldu.
İki ay sonra, Slowinski M44497nin asal olduğunu gösterdi.
Mayıs 1983te Amerikalı David Slowinski, M86243ün asal olduğunu, bilgisayar yardımıyla tam 1 saat 3 dakika 22 saniyede kanıtladı. Ama 86.243 sihirli sayısını bulmak için aylarca uğraştı. Bilinen klasik yöntemle (yani kendisinden küçük sayılara bölmeye çalışarak) bu sayının asal olduğunu kanıtlamak, evrenin ömrünü aşardı! M86243ün tam 25.962 rakamı olduğunu da ayrıca belirtelim. Bu kadar bozuk parayı üstüste yığsanız, para kuleniz evrenin sınırlarını aşar! [43]
Yukardaki asalı bulan Slowinski, 19 Eylül 1983te M132049un asal olduğunu bilgisayarlarla anladı. Bundan çok daha önce, Manfred Schroeder adlı bir matematikçi, matematiksel yöntemlerle, sezgisinin de yardımıyla, 2130.000 - 1 civarlarında bir asal olduğunu tahmin etmişti zaten.
Mart 1992de M756839un asal olduğu anlaşıldı.
12 Ocak 1994te, Paul Gage ve yine David Slowinsky bilgisayar ağlarında M859433ün asal olduğunu kanıtladıklarını duyurdular. Hesaplarını gene bilgisayarla yapmışlardı elbet.
Şimdi, So = 4, Sk+1 = Sk2 - 2 olsun. Örneğin, S1 = 42 -2 = 14tür. Bunun gibi, S2 = S12 -2 = 142 -2 = 194tür. Bir q asalı için, Mqnün asal olması için gerekli ve yeterli koşul, Mqnün Sqyü bölmesidir. Bu teste Lucas testi denilir. Lucas testi sayesinde çok büyük asallar oldukça kolay sayılacak işlemlerle bulunabilir.
Bu sonuçlara bilgisayarlara güvenebildiğimiz derecede güvenebiliriz elbet. Bilgisayarlar da hata yaparlar!
Büyük sayıların asal olup olmadıklarını anlamak, şifreli mesajlarda (kriptoloji) çok önemlidir ve gelişmiş ülkelerin orduları bu yüzden asal sayılarla çok ilgilenirler. Gizli mesaj yollamak isteyen, mesajıyla birlikte iki büyük asal sayının çarpımını da yollar. Şifreyi çözmek için, şifreyle birlikte yollanan sayıyı bölen o iki asalı bilmek gerekir, ki bu da dışardan birisi için (sayılar büyük olduğundan) hemen hemen olanaksızdır. İki sayıyı çarpmak kolaydır ama bir sayıyı çarpanlarına ayırmak çok daha zordur.
Şifrelemede Mersenne sayıları kullanılmaz. Çünkü az sayıda (30 küsur tane olmalı) asal Mersenne sayısı bilindiğinden, şifreyle birlikte yollanan sayının asal bir Mersenne sayısına bölünüp bölünmediğini anlamak kolaydır.
Asal olmayan bir sayıyı bölenlerine ayırmanın Fermatnın bulduğu şu yöntem vardır. Eğer n sayısı iki pozitif doğal sayı için x2 - y2 biçiminde yazılıyorsa, o zaman,
n = (x - y)(x + y)
eşitliği doğrudur ve x, y +1 olmadığı sürece, nyi çarpanlarına ayırmış oluruz. Bunun tersi de aşağı yukarı doğrudur. Eğer n = ab ise ve n çift değilse, o zaman,
x =
ve
y = -
alarak, n = x2 - y2 eşitliğini elde ederiz. Demek ki, çift olmayan bir n doğal sayısını çarpanlarına ayırmak için, n = x2 - y2 eşitliğini sağlayan x ve y bulmalıyız. Bu eşitlik yerine y2 = x2 - n yazalım ve x yerine teker teker sayıları koyup x2 - n sayısını hesaplayalım. Bu sayı tam bir kare (y2) olduğunda n = x2 - y2 eşitliğini bulmuş oluruz. Elbette xin √nden büyük olması gerekmektedir, yoksa x2 - n pozitif bile olamaz. Ayrıca, x2 - n sayısının tam bir kare olması için 0, 1, 4, 5, 6 ve 9la bitmesi gerekmektedir, 2, 3, 7 ve 8le biten sayılar kare olamazlar.
Bu yöntemi n = 91 için deneyelim. x > √91 olması gerektiğinden, x = 10dan başlamalıyız. x = 10 ise, x2 - n = 102 - 91 = 9 = 32 dir ve y = 3 olabilir. Demek ki,
91 = n = 102 - 32 = (10 - 3)(10 + 3) = 7 × 13
eşitliği geçerlidir.
Aynı yöntemi n = 143 için deneyecek olursanız, gene yanıtı hemen bulursunuz: x = 12, y = 1.
Mersenne sayılarına çok benzeyen başka sayılara bakalım. 2a + 1 biçiminde yazılan sayılar asal mıdır? Bu sayıların hangi alar için asal olduklarını bilmiyoruz ama hangi alar için asal olamayacaklarını biliyoruz: Eğer a, 2nin bir gücü değilse, yani 2n biçiminde yazılamazsa, bu sayılar asal olamazlar. Bunu birazdan kanıtlayacağız (Teorem 9.) Fermat,
Fn =
biçiminde yazılan bütün sayıların asal olduklarını sanıyordu. Bu yüzden bu sayılara Fermat sayıları denir. Gerçekten de ilk beş Fermat sayısı,
Fo = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
asaldır. Fermat, bütün Fermat sayılarının asal olduklarını kanıtlamaya uğraştı ama başaramadı. Başarısızlığının nedeni vardı: Sanısı doğru değildi. F5 asal değildir. F5 on basamaklı bir sayı olduğundan asallığını kanıtlamak kolay değildi. Euler (1707-1783), F5in 641e bölündüğünü gösterdi:
F5 = 641 × 6700417.
Demek ki a = 2n biçiminde yazılabilse bile, 2a + 1 asal olmayabiliyor.
Lucas F6nın asal olmadığını kanıtladı. Daha sonra, 1880de, Landry,
F6 = 274177 × 67280421310721
eşitliğini buldu. F7 ve F8 de asal değiller. Bu sayıların asal olmadıkları, çok geç bir tarihte, 1970 ve 1981de anlaşıldı. W. Keller, 1980de F9448in asal olmadığını gösterdi. Bu sayı 19 × 29450 + 1e bölünür. 1984de gene W. Keller, F23471in asal olmadığını kanıtladı. Bu sayının 107000den fazla basamağı vardır ve 5 × 223473 + 1e bölünür.
n ≥ 5 için, asal bir Fnnin olup olmadığı şimdilik bilinmiyor. Asallığı bilinmeyen en küçük Fermat sayıları şunlar: F22, F24, F28.
Son yıllarda bir sayının asallığına yüzde olarak oldukça çabuk karar verebilen yöntemler geliştirildi. Örneğin, Şu sayı yüzde 99,978 olasılıkla asaldır, gibi önermeler bilgisayarların yardımıyla oldukça kısa sayılabilecek zamanda kanıtlandı. Bu konuda bilgim kısıtlı olduğundan daha fazla söz söyleyemeyeceğim.
11, 111, 1111, 11111 gibi her rakamı 1 olan sayılar asal mıdır? İçinde n tane 1 olan sayıya Bn diyelim. Eğer çift sayıda 1 varsa, yani n çiftse, Bn, 11e bölünür ve B2 dışında bunlardan hiçbiri asal olamaz. Eğer n üçe bölünüyorsa Bn de üçe bölünür ve asal olamaz.
Hangi nler için Bn asaldır? Bu asallardan kaç tane vardır? B2, B19, B23, B317, B1031 asal sayılar, bu biliniyor. Bunlardan başka? Ben bilmiyorum. Bu sayılardan daha büyük bir asal varsa, n > 10.000 olması gerektiğini Harvey Dubner adlı biri kanıtlamış, daha doğrusu hesaplamış. [43]
Asallar matematikte çok önemlidir elbet. Bu yazıda bu önemli konuda bir iki teorem kanıtlayacağız. İlk teoremimizi okurların çoğu biliyordur.
Teorem 1. 1den büyük her sayı3 bir asala bölünür.
Kanıt: Bunun kanıtı oldukça kolaydır: a > 1 bir sayı olsun. anın bir asala bölündüğünü kanıtlamak istiyoruz.
Eğer a asalsa bir sorun yok: a, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur (a bir asala (kendisine!) bölünür.)
Eğer a asal değilse, ayı bölen ve 1 < b < a eşitsizliklerini sağlayan bir b vardır. Eğer b asalsa bir sorun yok: b, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.
Eğer b asal değilse, byi (ve dolayısıyla ayı da) bölen ve 1 < c < b eşitsizliklerini sağlayan bir c vardır. Eğer c asalsa bir sorun yok: c, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.
Eğer c asal değilse, cyi (ve dolayısıyla ayı da) bölen ve 1 < d < c eşitsizliklerini sağlayan bir d vardır. Eğer d asalsa bir sorun yok: d, ayı böler ve teoremimiz kanıtlanmış olur.
Eğer d asal değilse.......
Nereye dek gidebiliriz? Bulacağımız her sayı bir öncekinden küçük ve 1den büyük olduğundan sonsuza dek bunu böyle sürdüremeyiz. Bir zaman sonra durmalıyız, yani bir zaman sonra ayı bölen bir asal buluruz. Teoremimiz kanıtlanmıştır. ?
Birazdan yukarda güzelliğinden sözettiğimiz Öklid Teoremini kanıtlayacağız: Sonsuz tane asal sayı vardır. Aynı yöntemle başka sonuçlar da çıkaracağız. İlk önce biraz ilkokul aritmetiği yapalım.
Eğer a ve b sayıları nye bölünüyorsa, bu iki sayının toplamı da nye bölünür. Örneğin hem 78, hem 66 üçe bölündüğünden, 78 + 66 da, yani 144 de, üçe bölünür.
Öte yandan eğer a ve b sayılarından yalnızca biri nye bölünüyor, öbürü bölünmüyorsa, bu iki sayının toplamı nye bölünmez. Örneğin 78 üçe bölünür, 67 bölünmez. Dolayısıyla 78 + 67 üçe bölünmez.
Bir üst paragraftaki byi 1 olarak alırsak, ayı bölen 1den büyük bir sayının a + 1i bölemeyeceği çıkar. Demek ki a ve a+1 sayılarının 1den başka ortak böleni yoktur.
Hem ikiye, hem de üçe bölünen bir sayıya 1 eklersek, elde ettiğimiz sayı ne ikiye ne de üçe bölünür. Bunun gibi, 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7, yani 5040, 2ye, 3e, 4e, 5e, 6ya, 7ye bölünür, ama bu sayıya 1 ekleyerek elde ettiğimiz 5041, bunlardan hiçbirine bölünmez.
Aynı şey a ve a 1 sayıları için de geçerlidir. Örneğin, 5040ı bölen 1den büyük hiçbir sayı 5039u bölemez.
5039 ve 5041 sayılarının 7 ve 7den küçük hiçbir asala bölünmediklerini gördük. Öte yandan, Teorem 1e göre, bu sayılardan herbiri bir asala bölünmeli. Demek ki 7den büyük bir asal vardır. Bunun gibi 2yle 11 arasındaki sayıların çarpımına 1 eklersek, elde edilen sayı bir asala bölünür ve bu asal 11den büyük olmak zorundadır. Bu akıl yürütmeyi genelleştireceğiz:
Teorem 2. Sonsuz tane asal sayı vardır.
Kanıt: n > 1 herhangi bir sayı olsun. 2den nye kadar bütün sayıları birbiriyle çarpalım: 2 × 3 × ... × (n2) × (n1) × n. Kocaman bir sayı elde ettik. Bu sayı n! olarak simgelenir. n! sayısı n + 1den küçük bütün sayılara bölünür elbet, çünkü n! bu sayıların çarpımı. Demek ki n! + 1 sayısı 1le n arasındaki hiçbir sayıya bölünemez. Öte yandan, Teorem 1e göre n! + 1 sayısı bir asala bölünmeli. Demek ki nden büyük bir asal vardır.
Ne bulduk? Her sayıdan büyük bir asal bulduk. Dolayısıyla sonsuz tane asal vardır, çünkü her asaldan büyük bir başka asal vardır. İkinci teorem kanıtlanmıştır. ?
Ne denli yalın bir kanıt değil mi? Ve şaşırtıcı. Şu nedenden şaşırtıcı: Kanıt, nden sonra gelen ilk asalı bulmuyor; yalnızca nden büyük bir asalın varlığı kanıtlanıyor. Örneğin 1 milyondan büyük bir asal vardır. Hangi asal? Yanıt yok! Kanıt, hangi asalın 1 milyondan büyük olduğunu göstermiyor. Öyle bir asal var demekle yetiniyor.
Aslında kanıtımız nden büyük asallar üzerine hiç de bilgi vermiyor değil. En azından, her n için, n < p ≤ n! + 1 eşitsizliklerini sağlayan bir p asalının olduğunu kanıtlıyor.
Teorem 3. Her n > 1 için, n < p ≤ n! + 1 eşitsizliklerini sağlayan bir asal vardır. ?
Hangi n asal bir sayıları için n! + 1 asaldır? Bence bu pek ilginç bir soru değil ama, meraklılar böyle sorular soruyorlar. Yanıt bilinmiyor. 1987de H. Dubner, n = 13649 için, ki bu asal bir sayıdır, 5862 basamaklı n! + 1 sayısının asal olduğunu gösterdi.
Yukardaki teoeremde, n! + 1 sayısını biraz daha küçültebiliriz. Teorem 2nin kanıtının hemen hemen aynısı, n! yerine, nden küçük ya da eşit asalların çarpımını alabileceğimizi gösteriyor. Örneğin, n = 29 ise,
29 < p ≤ 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29 + 1
eşitsizliğini sağlayan bir asal vardır.
Bütün bunlar akla bir başka soru getiriyor. Ardarda gelen, örneğin, her bin sayıdan en az biri asal mıdır? Başka bir deyişle, n herhangi bir sayıysa,
n + 1, n + 2, n + 3, ..., n + 1000
sayılarından biri asal mıdır?
Bu soruyu yanıtlamak için yeterli bilgiye sahibiz. Yanıt olumsuzdur. Yanıtın olumsuz olduğunu kanıtlayalım.
Bir örnekle başlayalım. 7! = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7, yani 5040, 2ye, 3e, 4e, 5e, 6ya ve 7ye bölünür. Dolayısıyla
5042, 2ye
5043, 3e
5044, 4e
5045, 5e
5046, 6ya
5047, 7ye
bölünür ve bu sayılardan hiçbiri asal olamaz. Bunun gibi, aşağıdaki bin sayı,
1001! + 2, 1001! + 3, ... , 1001! + 1001
sırasıyla 2ye, 3e, ..., 1001e bölünürler ve hiçbiri asal olamaz. Bu yaptığımızı genelleştirmek işten bile değildir:
Teorem 4. Ardarda gelen her n sayıdan birinin mutlaka asal olduğu bir n yoktur.
Asallarla ilgili bir başka soruya geçelim. Sayıları üç kümeye ayırabiliriz:
A kümesi = {3e bölünen sayılar }
B kümesi = {3e bölündüğünde kalanın 1 olduğu sayılar}
C kümesi = {3e bölündüğünde kalanın 2 olduğu sayılar}
Yani,
A = {3,6,9,12,15,18,...}
B = {4,7,10,13,16,19,...}
C = {5,8,11,14,17,20,...}
B kümesinden herhangi iki sayı alalım: n1 ve n2. Bu sayılar 3e bölündüğünde 1 kalıyor. Dolayısıyla n1 = 3q1 + 1 ve n2 = 3q2 + 1 olarak yazabiliriz. Şimdi n1 ve n2yi birbiriyle çarpalım:
n1n2 = (3q1+1)(3q2+1) = 9q1q2 + 3q1+3q2 +1 = 3(3q1q2+q1+q2)+1
Dolayısıyla n1n2 sayısı 3e bölündüğünde 1 kalır. Ne kanıtladık? B kümesindeki sayıların çarpımlarının gene B kümesinde olduğunu kanıtladık. Bunu kullanarak aşağıdaki teoremi kanıtlayacağız:
Teorem 5. C kümesinde sonsuz tane asal vardır.
Kanıt: C kümesindeki bir sayı, A kümesindeki bir sayıya bölünemez, çünkü A kümesindeki sayılar 3e bölünüyor, oysa C kümesindekiler 3e bölünmüyorlar. Demek ki C kümesindeki bir sayıyı bölen sayılar B ve C kümesinde olmalıdır. Ama hepsi birden Bde olamaz, çünkü Bnin öğeleri kendileriyle çarpıldığında gene Bden bir sayı verir. Demek ki C kümesinin her sayısı, gene C kümesinden bir asala bölünür.
Şimdi n ≥ 3 herhangi bir sayı olsun. n! 1 sayısını ele alalım. Bu sayıya x diyelim. x, Cdedir, çünkü, x = (n! 3) + 2 olarak yazılabilir ve n! 3 üçe bölünür. Demek ki C kümesinde xi bölen bir asal vardır. Öte yandan xi bölen sayılar nden büyüktür elbet. Ne kanıtladık? n kaç olursa olsun, C kümesinde nden büyük bir asal vardır. Yani Cde sonsuz tane asal vardır. ?
Okur buna benzer bir kanıtla aşağıdaki teoremi kanıtlayabilir:
Teorem 6. 4e bölündüğünde kalanı 3 olan sonsuz tane asal vardır.
18. yüzyılın sonlarına doğru, Fransız matematikçisi Legendre (1752-1833) son iki teoremi genelleştirmek istedi. Şu soruyu sordu:
Soru. a ve b, 1den başka ortak böleni olmayan iki sayı olsun. ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal var mıdır?
Teorem 5ten a = 3, b = 2 için, Teorem 6dan da a = 4, b = 3 için yanıtın olumlu olduğu anlaşılıyor. Legendre bu soruyu genel olarak yanıtlamak istedi. Örneğin 25x + 6 biçiminde yazılan sonsuz tane asal var mıdır? Eğer x = 1 ise 31 buluruz ki, 31 asaldır. Eğer x = 2, 3, 4 ise, sırasıyla 56, 81, 106 buluruz ve bunlardan hiçbiri asal değildir. x = 5 olduğunda 131 çıkar ve 131 asaldır.
Legendre sorunun yanıtının olumlu olduğundan hiç kuşku duymadı, ancak kanıtlamakta güçlük çekti. 1785te defterine bunu bilimsel olarak kanıtlamalı diye not düşmüş. On dört yıl sonra, 1798de, doğruluğundan kuşku duymamalıyız diye yazmış. Sonra da kanıtlamaya çalışmış. Başaramadan... İkinci denemesini Sayılar Kuramı adlı kitabına aldığını biliyoruz [26]. Ama bu denemesi de yanlış. Kanıtın yanlışlığının ne zaman anlaşıldığını bilmiyorum. 1837de, meslektaşı Legendre gibi Fransız olan G. L. Dirichlet (1805-1859) teoremi doğru olarak kanıtladı [8]:
Teorem 7. a ve b ortak böleni olmayan iki doğal sayıysa, ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal sayı vardır.
Dirichletnin yönteminden bir başka teorem daha elde edilebilir:
Teorem 8. a, b ve c ortak böleni olmayan üç pozitif doğal sayı olsunlar. ax2 + bxy + cy2 biçiminde yazılan sonsuz tane asal vardır.
Sadece ve sadece asal sayıları ve her asal sayıyı veren bir formül var mıdır? Genel olarak sanılanın tersine böyle bir formül vardır. Öyle bir formül vardır ki, bu formülle yalnız ve yalnız asal sayılar elde edilir ve her asal sayı bu formülle elde edilir. Oldukça kolay bir formüldür bu. İşte formül:
n ve m herhangi iki doğal sayı olsun.
k = m(n + 1) - (n! + 1)
olarak tanımlansın. Şimdi,
p = -|-|-- + 2
her n ve m sayısı için asaldır! Ayrıca her asal sayı bu biçimde elde edilebilir.
Bu formülle sık sık 2 elde ederiz, ama 2 dışındaki her asal sayı bu formülle ancak bir kez, yani bir tek n ve m değerleri için elde edilebilir.
Eğer k2 - 1 ≥ 0 ise, yukardaki formül hep p = 2 verir. Ama k2 - 1 < 0 ise, yani k2 < 1 ise, yani k2 = 0 ise, yani k = 0 ise, yani m(n + 1) - (n! + 1) = 0 ise, yani,
m =
ise, yukardaki formül p = n + 1 verir. Bu sayı asaldır, çünkü Wilsonın ünlü teoremine göre, mnin tamsayı olabilmesi için, yani n + 1in n! + 1i bölebilmesi için, n + 1in asal olması gerekmektedir.
Örneğin, n = 2 ve m = 1 ise, p = 3 bulunur. Eğer n = 4 ve m = 5 ise, p = 5 bulunur. Eğer, n = 6 ve m = 103 ise, p = 7 bulunur. Gelecek asalı, yani 11i bulmak için, yani p = 11 çıkması için, nnin 10 olması, mnin de
yani 329.891 olması gerekmektedir. Hangi n ve m sayıları için p = 13 bulunacağını okur kolaylıkla bulabilir.
Hardy ve Wright, bir ω = 1,9287800 sayısı için,
f =
sayısının (n tane 2 var) bir asal olduğunu gösterdiler [47]4. Örneğin f(1) = 3, f(2) = 13, f(3) = 16381. f(4)ü hesaplamak zor, basamak sayısı 5000 civarında. Öte yandan, ω sayısını belirlemek için, asal sayıları bilmek gerektiğinden, bu formül pek işe yaramaz. Gene de öyle bir ω sayısının varlığı ilginç.
Her asalı veren bir formül var ama, her asalı veren bir polinomun5 olmadığı biliniyor. Eğer katsayıları tamsayı olan her polinomun sonsuz tane asal olmayan sayı verdiği bilinir.
1772de Euler, n2 + n + 41 polinomunun n = 0,1,2, ,39 için asal sayılar verdiğini buldu. Ancak bu polinom n = 40 için 41e bölünür ve asal değildir.
Fermat sayıları üzerine bir teorem kanıtlayacağımıza sözvermiştik. Sözümüzü tutuyoruz:
Teorem 9. Eğer a = 2n biçiminde yazılamazsa, 2a + 1 asal olamaz.
Kanıt: Önce şunu belleyelim: x herhangi bir sayı ve a > 1 bir tek sayıysa, xa + 1 sayısı asal olamaz, çünkü x + 1e bölünür. Şöyle bölünür:
xa + 1 = (x+1)(xa1 xa2 + xa3 xa4 + ... x + 1.)
Şimdi anın bir tek sayıya bölündüğünü varsayalım. 2a + 1in asal olamayacağını kanıtlamak istiyoruz. ayı bölen tek sayıya m diyelim. Demek ki a = nm ve m bir tek sayı. x = 2n olsun. Küçük bir hesap yapalım:
2a + 1 = 2nm + 1 = (2n)m + 1 = xm + 1.
m tek olduğundan, ilk paragrafta gördüğümüz gibi, x + 1, xm + 1i böler. Yani x + 1, 2a + 1i böler.
Demek ki a bir tek sayıya bölünüyorsa, 2a + 1 asal olamaz. Dolayısıyla a, 2nin bir katı olmalı. ?
Asallar üzerine bildiklerimiz bilmediklerimizin yanında hiç kalır. Bildiklerimiz arasından en önemlilerinden biri Fermatnın Küçük Teoremi adıyla anılan şu teoremdir:
Teorem 10. (Fermatnın Küçük Teoremi.) n bir sayıysa ve p asalsa, p, n p n sayısını böler. Dolayısıyla eğer p, nyi bölmüyorsa, n p11i böler.
Bu teorem, n üzerine tümevarımla kolaylıkla kanıtlanabilir. Örneğin 23, 2232 sayısını böler, çünkü 23 asaldır. 23, 2yi bölmediğinden, 23, 2221 sayısını da böler. Bunun tersi doğru mudur? Yani p > 1 bir sayıysa ve p, 2p1 1i bölüyorsa, p asal mıdır? Eski Çinliler de bu soruyu sormuşlar ve yaptıkları hesaplarda p hep asal çıkmıştır. Gerçekten de 1 < p < 300 için bu doğrudur. Öte yandan p = 341 = 11 × 31 için doğru değildir: 341 asal olmamasına karşın 2340 1i böler. Demek ki Çinliler yanılmışlar. Bir iki deney yaparak matematiksel bir gerçek bulunmaz. Kanıt gerekir. [11]
Eğer p, 2p 2yi bölüyorsa ve asal değilse, pye yalancı asal adı verilir. Örneğin 341 bir yalancı asaldır6. 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905 de yalancı asallardır. Kaç tane yalancı asal vardır? Sonsuz tane vardır, çünkü eğer p bir yalancı asalsa, 2p1 de bir yalancı asaldır. Okur bunu alıştırma olarak kanıtlayabilir. Demek ki 2341 1 bir yalancı asaldır.
Her p için, 2p 1 tek bir sayıdır. Dolayısıyla yukardaki yöntemle bulunan yalancı asallar hep tektirler. Bundan da şu doğal soru çıkar: çift yalancı asal var mıdır? Evet! 1950de D.H. Lehmer 161.038in bir yalancı asal olduğunu kanıtladı. 161.038 sayısını bulmak kolay değil ama, bu sayının yalancı asallığını kanıtlamak oldukça kolay. Kanıtlayalım. 161.038in 2161.038 2yi böldüğünü kanıtlamak istiyoruz. Önce 161.038i asallarına ayıralım: 161.038 = 2 × 73 × 1103. Demek ki 73 ve 1103ün a : = 2161.0371i böldüğünü kanıtlamalıyız. 161.037yi asallarına ayıralım: 161.037 = 32 × 29 × 617 = 9 × b. Burda b = 29 × 617 olarak aldık elbet. Eğer c = 29 ise, bundan da şu çıkar: a = 2161.037 1 = (29)b 1 = cb 1. Demek ki c 1, yani 29 1, yani 511, yani 7 × 73, ayı bölüyormuş. Dolayısıyla 73 de ayı bölüyordur. Şimdi sıra 1103ün ayı böldüğünü kanıtlamakta. Aynı akıl yürütmeyi yapacağız. d : = 32 × 617 ve e = 229 olsun. Hesaplayalım: a = 2161.037 1 = (229)d 1 = ed 1. Demek ki
e 1 = 1103 × 486.737,
ayı bölüyormuş. Kanıtımız bitmiştir.
1951de N.W.H. Beeger sonsuz tane çift yalancı asal olduğunu kanıtladı.
Eğer p > 1, her n için n p nyi bölüyorsa ve asal değilse, pye çok yalancı asal adı verilir. Çok yalancı asal sayı var mıdır? Evet. En küçük çok yalancı asal sayı 561dir. 561 = 3 × 11 × 17 olduğundan 561 asal değildir. Öte yandan, 561, her n için a561561i böler. Bunu da kanıtlamak oldukça kolaydır. Kanıt için okur [23]e bakabilir.
Fermatnın Küçük Teoremine göre, eğer p asalsa,
1p1, 2p1,..., (p1)p1
sayıları pye bölündüğünde 1 kalır. Dolayısıyla bu p1 sayının toplamı olan
1p1 + 2p1+ ... + (p1) p1
sayısı pye bölündüğünde kalan p 1dir. Bunun tersi de doğru mudur? Yani n herhangi bir sayıysa ve
1n1 + 2n1 + ...+ (n1)n1
sayısı nye bölündüğünde kalan n 1 ise, n asal mıdır? 1950de Bedocchi adında bir matematikçi 1985de yanıtın n < 101700 için evet olduğunu gösterdi. Genel sorunun yanıtı bugün de bilinmiyor:
Soru: n herhangi bir sayıysa ve 1n1+2n1+ ...+(n1)n1 sayısı nye bölündüğünde kalan n 1 ise, n asal mıdır?
Gerçek asallara geri dönelim. Wilson Teoremi, hemen hemen Fermatnın Küçük Teoremi kadar önemlidir:
Teorem 11. Eğer p asalsa, p, (p 1)! + 1i böler.
Asallar üzerine yanıtı bilinmeyen bir başka soru geçeyim. Goldbach, bir mektubunda aşağıdaki soruyu Eulere sordu (1972):
Goldbach Sanısı (1): 5ten büyük her sayı üç asalın toplamına eşittir.
Euler, Goldbacha sorunun yanıtını bilmediğini, ama sorunun aşağıdaki soruyla eşdeğer olduğunu yazdı:
Goldbach Sanısı (2): 4ten büyük her çift sayı iki asalın toplamıdır.
Örneğin,
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
16 = 3+13 = 5+11
18 = 5+13 = 7+11
20 = 3+17 = 7+13
22 = 3+19 = 5+17 = 11+11
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
26 = 3+23 = 7+19 = 13+13
Yüz milyondan küçük sayılar için Goldbach sanısının doğru olduğu biliniyor. Önermenin her sayı için doğru olduğu bilinmiyor, ancak doğru olduğu sanılıyor. Bu sanıyı kanıtlayabilirseniz ölümsüzler arasında yerinizi alırsınız.
Asal sayılar üzerine dahaca çözülememiş bir başka ünlü sanı vardır:
İkiz Asallar Sanısı: Sonsuz tane ikiz asal sayı vardır.
Eğer iki asal sayının arasındaki fark 2 ise, bu iki asal sayıya ikiz denir. Örneğin, (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) ikiz asal sayılardır. Sonsuz tane ikiz asalın olup olmadığı bilinmiyor. Bilinse ne olur, bilinmese ne olur? demeyin. Yanıtı bilinmeyen her soru ilginçtir, üzerinde düşünmeye değer. İnsan yalnızca düşünen hayvan değildir, nedenli nedensiz düşünen hayvandır.
1966da, sonsuz tane asal p sayısı için, p + 2 sayısının ya asal ya da iki asalın çarpımı olduğu kanıtlandı.
Bilinen en büyük ikiz asallar 1.706.595 × 211235 ± 1 asallarıdır, 1990da Parady, Smith ve Zarantonello bulmuştur.
Üçüz asal var mıdır? (3,5,7)den başka yoktur. Okur bunu kolaylıkla kanıtlayabilir. Bir ipucu verelim: eğer n bir tamsayıysa, n, n+2, n+4 sayılarından biri 3e bölünür.
Yukarda sonsuz tane asal sayının olduğunu gördük. Gene de o kadar fazla asal sayı yoktur. Örneğin, çift sayılar (2 dışında) asal olamayacaklarından, sayıların yarısından fazlası asal değildir. 1le n arasından rastgele bir sayı seçsek, bu sayının asal olma olasılığı kaçtır? Bu olasılık nye göre değişir elbet. Eğer n = 100 ise, bu olasılığın 1/4 olduğunu yazının en başında görmüştük.
Eğer n bir tamsayıysa, π, nden küçük asalların sayısı olsun. π/n, nden küçük rastgele seçilmiş bir sayının asal olma olasılığıdır. n sonsuza gittiğinde, bu olasılığın değeri kaçtır? Okur, n büyüdükçe, asal seçme olasılığının da küçüleceğini ve n sonsuza gittiğinde bu olasılığın 0a yakınsayacağını tahmin edebilir. Bu tahmin doğrudur7:
limn→∞ π/n = 0.
Bundan çok daha iyi bir sonuç bilinmektedir. π/n ve 1/log, n büyüdükçe birbirlerine çok yakınsamaktadırlar8. Başka bir deyişle, eğer n büyükse, π aşağı yukarı n/log dur, yani π ≈ n/log. Bu sonuca Asal Sayılar Teoremi adı verilir.
Asal sayılar son derece ilginç bir konudur. Asal sayılar konusunda bilgilenmek isteyen okur [33] ve [40]a bakabilir. Hele Eulerin sonsuz tane asal sayının olduğunu (bir kez daha) kanıtlayan bir kanıtı vardır ki...