sensiz olmaz
Kayıtlı Üye
ANALİTİK DÜZLEM
Baslangıç noktaları aynı, birbirine dik iki reel sayı ekseninden olusan sisteme koordinat sistemi denir.
Yukarıda bir kordinat sistemi çizilmistir.
Yatay eksene x ekseni (absis), düsey eksene y ekseni (ordinat) denir.
İçerisinde bir koordinat sistemi alınan düzleme analitik düzlem adı verilir.
Analitik düzlemde noktalar, koordinatlar dediğimiz reel sayı ikilileri ile gösterilir.
Bir noktanın koordinatları eksenlere indirilen dikme ayaklarına karsı gelen sayılardır.
x eksenindeki önce, y eksenindeki sonra yazılır.
Örneğin yukarıdaki sekildeki A noktasının koordinatları (5,3) dür.
Analitik düzlemde noktalar dört farklı bölgede bulunurlar.
x > 0 , y > 0 olan A(x,y) noktaları I. bölgede, x < 0, y > 0 olan B(x,y) noktaları II. bölgede x < 0, y < 0 olan C(x,y) noktaları III. Bölgede ve x > 0 , y < 0 olan D(x,y) noktaları IV. bölgede bulunur.
Ayrıca x ekseni üzerinde bulunan her noktanın
si sıfırdır.
Bundan dolayı x ekseni y = 0 doğrusudur; y ekseni üzerinde bulunan her noktanın absisi sıfırdır.
Bundan dolayı y ekseni x = 0 doğrusudur.
x = n doğrusu x = n den y eksenine çizilen paralel doğrudur.
y = m den x eksenine çizilen paralel doğru da y = m doğrusudur.
ÖRNEK:
A(a,b) noktası koordinat düzleminde 3. bölgede bulunduğuna göre, (a,b) ikilisi asağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (1, 2)
B) (3, 2)
C) (2, 3)
D) (1, 1)
E) (0, 4)
Çözüm:
Üçüncü bölgede x < 0 , y < 0 olduğu için istenen nokta (1, 1) olabilir.
Yanıt: D
ANALİTİK DÜZLEMDE NOKTADOĞRU İLİSKİLERİ
1) A(x1y1) ve B(x2y2) ise A, B noktaları arasındaki uzaklık
formülü ile bulunur.
DOĞRUNUN EĞİMİ
Tanım:
Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açının tanjantına O doğrunun eğimi denir.
d doğrusu eğimi => m = tan
dır.
İKİ NOKTASI BİLİNEN BİR DOĞRUNUN EĞİMİ
A(x1y1), B(x2y2) iken AB doğrusunun eğimi
ÖRNEK:
A(1,2), B(2,3) noktalarından geçen doğrunun eğimi nedir?
Çözüm:
DOĞRU DENKLEMİ
Birinci dereceden iki bilinmeyenli ax + by + c = 0 gibi her denklem analitik düzlemde bir doğru gösterir.
Bir doğru denkleminde doğrunun eğimini bulmak için denklem y ye göre çözülür. x in katsayısı eğimdir.
ÖRNEK:
mx + (m + 1) y 3m + 4 = 0 doğrusunun eğimi
ise m kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 3 E) 4
Çözüm:
mx + (m + 1) y 3m + 4 = 0 doğrusunun eğimi
Yanıt: A
ÖRNEK:
x + y 12 = 0 doğrusu x ekseninin pozitif yönüyle kaç derecelik açı yapar?
A) 45
B) 75
C) 120
D) 135
E) 150
Çözüm:
x + y 12 = 0 => y = x + 12 dir.
Bu doğrunun eğimi m = 1 dir.
Eğim açısı tan
= 1 den
= 135° bulunur.
Yanıt: D
ÖRNEK:
doğrusu x ekseninin pozitif yönü ile kaç derecelik açı yapar?
A) 60
B) 75
C) 80
D) 120
E) 150
Çözüm:
x y + 5 = 0 => y =
x 5 den
eğim: m = 3 bulunur.
Doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açı
ise m = tan
=
tür.
Burada
= 60 olduğu görülür.
Yanıt: A
KÖŞELERİNİN KOORDİNATLARI
A(x1y1), B(x2y2), C(x3y3) olan ABC üçgeninin alanı:
Asağıdaki formülle bulunur.
pratikte üç kösenin koordinatları alt alta konur. İlk köse alta birkez daha yazılır. Çapraz çarpımların toplamları(bilgi yelpazesi.net) bulunur.
Bunların farkının mutlak değerinin yarısı alandır.
ÖRNEK:
Köseleri A(3,6), B(1,5), C(5,7) olan üçgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm:
Formülle:
dir.
Yanıt: B
Pratik Çözüm:
8. A(x1y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi:
y y1 = m (x x1)
dir.
ÖRNEK:
A(2, 5) noktasından geçen ve eğimi
Olan doğrunun denklemi hangisidir?
A) x + 3y + 13 = 0
B) x + 3y 15 = 0
C) x 3y + 13 = 0
D) x 3y 15 = 0
E) x + y + 3 = 0
Çözüm:
Denklemi: y y1 = m (x x1) den
ÖRNEK:
A(2,6) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönü ile 45° lik açı yapan dğrunun denklemi nedir?
A) y x 6 = 0
B) y x 5 = 0
C) y x 10 = 0
D) y + x 8 = 0
E) y x y = 0
Çözüm:
A(2,6) noktasından geçen ve eğimi
m = tan45° = 1 olan doğru denklemi:
y 6 = 1 (x + 2)
y x 8 = 0 bulunur.
Yanıt: E
A(x1y1) ve B(x2y2) noktalarından geçen doğru denklemi:
Özel olarak eksenleri A(a,0) ve B(b,0) noktalarında kenar doğru denklemi:
ÖRNEK:
A(3,6) ve B(4,3) noktalarından geçen doğru denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 9x y + 33 = 0
B) 9x + y 33 = 0
C) 9x + y + 7 = 0
D) 9x + 3y 2 = 0
E) 9x + 8y + 13 = 0
Çözüm:
İki noktası bilindiğinden,
bulunur.
Yanıt: B
ÖRNEK:
Yukarıdaki şekilde verilen doğrunun denklemi hangisidir?
A) x + 3y + 3 = 0
B) 3x + y 3 = 0
C) x + 3y + 5 = 0
D) x 3y + 3 = 0
E) x y + 3 = 0
Çözüm:
Eksenleri (3,0) ve (0,1) noktalarında kesiyor.
O halde denklem
bulunur.
Yanıt: D
10. A(x1y1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı:
ÖRNEK:
A(3,2) noktasının 3x 4y + 3 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm:
Yanıt: C
ÖRNEK:
Bir ADBC nin [BC] kenarı, denklemi 5x + 12y + 3 = 0 olan bir doğru üzerindedir.
A kösesinin koordinatları (5,2) olduğuna (bilgi yelpazesi.net) göre, ha yüksekliği kaç birimdir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Çözüm:
ha yüksekliği, A kösesinin BC doğrusuna olan uzaklığı olacağı için
Yanıt: C
Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru arasındaki açının tanjantı
dir. (Aralarındaki açı 0° ise yani doğrular paralelse m1=m2 dir. Aralarındaki açı 90° ise tanjant tanımsızdır. 1+m1m2 = 0 dan m1.m = 1 dir.)
Paralellik kosulu: m1 = m2 olmalı
Diklik kosulu: m1.m2 = 1 olmalıdır.
ÖRNEK:
doğruları arasındaki dar açının tanjantı
nedir?
Çözüm:
Yanıt: A
Not: Bu iki doğru arasındaki genis açının tanjantı sorulsaydı, bulunan bu değerin negatifi alınırdı.
ÖRNEK:
(m1) x + 3y m 3 = 0 , (m 3) x + 2y m + 1 = 0
Bu iki doğrunun paralel olması için m ne olmalıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm:
Bu iki doğrunun eğimi esit olmalıdır.
Yanıt: C
Not: ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 doğruları paralel ise
ÖRNEK:
doğrularının dik olması için m ne olmalıdır?
A) 10
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
Çözüm:
Doğruların dik olması için eğimleri çarpımları 1 olmalıdır.
Buradan 6m 30 = 3m ve m = 18 bulunur.
Yanıt: D
Denklemleri ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 olan iki doğrunun belirttiği açıların açıortaylarının denklemleri:
(Açıortayların, kenarlardan esit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olduğuna dikkat ediniz.)
formüldeki ( ∓ ) isareti + olarak alındığında d1 doğrusu bulunuyorsa () alındığında d2 doğrusu bulunur.
ÖRNEK:
Denklemleri 9x 2y + 12 = 0 ve 6x + 7y 15 = 0 doğrularının belirttiği açıların açıortaylarının birinin denklemi asağıdakilerden (bilgi yelpazesi.net) hangisidir?
A) x + 3y + 9 = 0
B) 15x + 5y + 5 = 0
C) x 4y + 9
D) 3x + 6y + 9 = 0
E) 15x + 5y 3 = 0
Çözüm:
Açıortay denklemleri
dur. Paydaları esit ve 85 olduğundan sadelestirilir.
9x 2y + 12 = ∓ (6x + 7y 5)
Buradan (+) lısı alındığında,
3x 9y + 27 = 0 den x 3y + 9 = 0 bulunur.
() lisi alındığında, 15x + 5y 3 = 0 bulunur.
Yanıt: E
Üç kösesi bilinen ağırlık merkezinin koordinatları Üçgenin köseleri A(x1y1) , B(x2y2) , C(x3y3) ise ağırlık merkezi G nin koordinatları
ÖRNEK:
Köselerinin koordinatları A(6,1), B(5,8), C(2,11) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları nedir?
Çözüm:
O halde ağırlık merkezi G(3,6) noktasıdır.
Denklemleri ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 olan iki doğrunun kesisme noktalarından geçen tüm doğruların demetinin denklemi:
m farklı değerler aldıkça A dan geçen farklı doğrular bulunur.
ÖRNEK:
3x 5y 8 = 0 ve 5x + 2y + 4 = 0 doğrularının kesisme noktası ile orijinden geçen doğru denklemi hangisidir?
A) 13x 9y = 0
B) 9x 12y = 0
C) 9x + 13y = 0
D) 13x + 9y = 0
E) 9x + y = 0
Çözüm:
3x + 5y 8 = 0 ve 5x + 2y + 4 = 0 doğrularının kesisme noktasından geçen tüm doğruların demetinin denklemi:
3x + 5y 8 + m (5x + 2y + 4) = 0 dır.
Aranılan denklem budur. m yi bulmak için verilen noktanın koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.
Verilen nokta O(0,0) olduğu için,
8 + 4m = 0 => m = 2
dir.
Aranılan doğru denklemi:
3x + 5y 8 + 2 (5x + 2y + 4) = 0 dan
13x + 9y = 0 bulunur.
Yanıt: D
ÖRNEK:
(3 + m) x + (2 m) y 11 + 3m = 0 (m e R) ise bu denkleminin gösterdiği doğrular hangi noktadan geçerler?
A) (4, 1)
B) (1, 4)
C) (1, 4)
D) (4, 1)
E) (1, 1)
Çözüm:
1. yol: Denklem parantezden kurtarılır ve m ye göre düzenlenerek doğru demetinin denklemi bulunur.
Sistemin çözümü: x = 1, y = 4 olduğu için nokta (1,4) dır.
2. yol: m için farklı iki değer verilerek iki bilinmiyenli iki denklem bulunur.
Bu sistem çözülür.
(3+m) x + (2m) y 11 + 3m = 0 denkleminde m = 3 ve m = 2 verelim.
bulunur. Nokta A(1,4) dür.
Yanıt: B
SİMETRİLER:
P(x,y) noktasının x eksenine göre simetriği P'(x,y) dir.
P(x,y) noktasının y eksenine göre simetriği P'(x,y) dir.
P(x,y) noktasının orijine göre simetriği P(x,y) dir.
P(x,y) noktasının y=x doğrusuna göre simetriği P'(y,x) dir.
P(x,y) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği : P'(y,x) dir.
P(x,y) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği: P'(2ax,y) dir.
P(x,y) noktasının y = b doğrusuna göre simetriği: P'(x,2by) dir.
P(x,y) noktasının A(a,b) noktasına göre simetriği P'(2ax,2by) dir.
ÖRNEK:
A(2,1) noktasının B(3,2) noktasına göre simetriği C dir. C nin y = x doğrusuna göre simetriği D ise |AD| uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
A(2,1) in B(3,2) ye göre simetriği C(2.32, 2.21) => C(4,3) tür.
( [AC] nin ortasının B olduğuna dikkat ediniz.)
C nin y = x e göre simetriği D(3,4) dür.
bulunur.
Yanıt: D
ÖRNEK:
A(1,3) noktasının y = 3x + 1 doğrusuna göre simetriği hangi noktadır?
Çözüm:
A dan geçen ve verilen doğruya dik olan doğru denklemi yazılır.
Bu iki doğru denklemi kesistirilerek B noktası bulunur.
A nın B ye göre simetriği istenen noktadır.
O halde;
y = 3x + 2 de eğim m = 3 A dan geçen bu doğruya dik olan doğru denklemi:
y = 3x + 1 ile bu doğrunun kesisme noktasını bulalım.
A nın B ye göre simetriği ise aranılan A' noktasıdır.
bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
A(3,4), B(5,3) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki P(x,0) noktası için |PA| + |PB| en küçük ise x kaçtır?
Çözüm:
B nin x eksenine göre simetriği B' yü bulalım.
|PB| = |PB'| dür.
O halde
|PA| + |PB| = |PA| + |PB'|
bunun en kısa olması halinde |PA|+|PB'|=|AB| olur.
O halde aranılan nokta AB' doğrusunun x eksenini kestiği noktadır.
Yanıt: C
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık:
a) Paralel doğrulardan biri üzerinde herhangi bir nokta alınır. Diğer doğruya olan uzaklığı hesaplanır. Bu uzaklık paralel iki doğru arasındaki uzaklıktır.
b) Paralel iki doğrunun denklemleri daima,
ax + by = c
ax + by = c'
biçimine getirilirler. Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık
ÖRNEK:
Denklemleri x 2y = 0 ve x 2y 5 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
Yanıt: E
ÖRNEK:
Denklemi x (2+m) y(12m) + 3m = 0 olan doğru, daima sabit bir noktadan geçmektedir.
Bu noktadan geçen ve y = x doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 5x + 5y + 9 = 0
B) 3x + 3y + 4 = 0
C) x + y 1 = 0
D) 2x + y + 3 = 0
E) x + y + 1 = 0
Çözüm:
Önce sabit noktayı bulalım:
Aranılan doğru, bu sabit noktadan geçen ve y = x doğrusuna paralel olan doğrudur.
O halde, aranılan (bilgi yelpazesi.net) doğrunun eğimi m = 1 dir.
5y + 5x + 9 = 0 bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
x |y| < 0 bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı bölge asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
x |y| < 0 => x < |y| dir.
Yani
y > 0 => x < y
y < 0 => x < y dir.
Buna göre, aranılan (x,y) ikilileri (A) seçeneğinde taralı olan bölgedir.
Yanıt: A
ÖRNEK:
Denklemleri 2x + 3y 8 = 0 ve 7x + 2y + 16 = 0 olan doğruların kesim noktasından ve koordinat baslangıcından geçen doğrunun denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 11x + 8y = 0
B) 8x + 11y = 0
C) x 6y = 0
D) 6x y = 0
E) 9x + 5y = 0
Çözüm:
İstenen doğru 2x + 3y 8 = 0 ve 7x + 2y + 16 = 0 doğrularının kesisme noktalarından geçiyorsa, bu iki doğrunun kesisme noktalarından geçen doğru demetinin denklemi biçimindedir.
2x + 3y 8 + m(7x + 2y + 16) = 0
dir. Burada m bilinmiyor. Bu doğrunun orijinden [O(0,0)] geçtiği bilindiği için denklemde x ve y yerine (0) konularak m bulunur.
bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
3x 2y + 11 = 0 ve 2x 3y 6 = 0 doğrularının belirttiği açıların açıortaylarından birinin denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) x y + 1 = 0
B) x + y 1 = 0
C) 3x + 2y 2 = 0
D) 5x + 5y + 1 = 0
E) 5x y + 17 = 0
Çözüm:
Açıortay denklemi:
dan
a) 3x 2y + 11 = 2x 3y 6 => x + y + 17 = 0
b) 3x 2y + 11 = (2x3y6) => 5x5y + 5 = 0
Ya da x y + 1 = 0
Yanıt: A
ANALİTİK ÇEMBER
Analitik düzlemde çember denklemleri ve bunların teğetlerinin denklemleri asağıda gösterilmistir.
1) Merkezi orijinde ( , ) ve yarıçapı r olan çember denklemi: x2 + y2 = r2 dir.
Bu çemberin üzerindeki A(x1, y1) noktasındaki teğet denklemleri de
x x1 + y y1 = r2 dir.
ÖRNEK:
Merkezi orijinde yarıçapı 6 olan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Merkezi orijinde yarıçapı r = 6 olan çember denklemi
x2 + y2 = 62 den x2 + y2 = 36 bulunur.
Yanıt: D
ÖRNEK:
x2 + y2 = 25 çemberi üzerinde A(x, 4) ve (x < 0) noktasındaki teğet denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 4y 25 = 0
B) 3x + 4y + 25 = 0
C) 4x + 3y + 25 = 0
D) 4x + 3y 25 = 0
E) 4x 3y 25 = 0
Çözüm:
x2 + y2 = 25 çemberinde y = +4 olan noktalar için x2 + 16 = 25 => x2 = 25 16 , x = 3 ve x = 3 bulunur.
İstenen nokta A(3, 4) olduğu için teğet denklemi xx1 + yy1 = r2 => 3x + 4y = 25 bulunur.
Yanıt: A
2) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember denklemi (x − a)2 + ( y − b)2 = r2 dir.
Bu çember üzerindeki A(x1 y1) noktasından bu çembere çizilen teğetin denklemi:
dir.
ÖRNEK:
Merkezi (3, 1) ve yarıçapı r = 3 olan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Merkezi M(a, b) yarı çapı r olan çember denklemi:
(xa)2 + (yb)2 = r2 olan (x3)2 + (y1)2 = 32 veya çember denklemi: x2 + y2 6x 2y + 1 = 0 biçiminde bulunur.
Yanıt: B
3) x2 + y2 + Dx + Ey + F biçimindeki iki bilinmeyenli İkinci Derece Denklemleri:
D2 + E2 4F > 0 ise bir çember gösterir. Bu çemberin merkezi
Not 1: D2 + E2 4F = 0 ise bu denklemin
noktasının, D2+E24F<0 ise bu denklem hiç birsey göstermez; ifadesi Ø dır.
Eğer D2 + E2 4F > 0 ise x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0 çemberi üzerinde A(x1 y1) noktasındaki teğet denklemi
biçimindedir.
Not2: Bütün çember denklemlerinden teğet denklemlerini bulmak için, çember denkleminde x2 yerine
x.x1 , y2 yerine y.y1 , (xa)2 yerine (xa) (x1a), (yb)2 yerine (yb) (y1b) ve x yerine
, y yerine de
yazıldığına dikkat ediniz.
ÖRNEK:
x2 + y2 + 6x 4y 12 = 0 çemberinin merkezi M(a, b) ve r yarıçapı hangisidir?
Çözüm:
Yanıt: B
Dikkat: Bu soruyu tam kareler biçimine getirerek de çözebilirsiniz.
x2 + y2 + 6x 4y 12 = 0 her iki yana 32 + 22 ekleyerek
x2 + 6x + 9 + y2 4y + 4 12 = 9 + 4
(x + 3)2 + (y 2)2 = 25 bulunur.
Buradan merkezin M(3, 2) , r = 5 olduğu görülür.
ÖRNEK:
x2 + y2 + 6x 8y 15 = 0 çemberi üzerindeki A(3,
2) noktasından çizilen teğetin denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 3x y 7 = 0
B) 3x + y 7 = 0
C) 3x + y = 0
D) x = 3y + 7 = 0
E) x 3y 7 = 0
Çözüm:
Teğet denkleminden
3x + 2y + 3 (x + 3) 4 (y + 2) 15 = 0
6x 2y 14 = 0 ® 3x y 7 = 0 dır.
Yanıt: A
Çember denklemlerinde kullanacağımız bazı kolaylıklar
1) Bir çemberle bir doğrunun ya da iki çemberin kesisme noktalarını bulmak için onların ortak çözümü yapılır. (Ortak çözüm denkleminde
= 0 ise teğet,
< 0 ise kesismezler.
> 0 ise iki noktada kesisirler.)
2) x2 + y2 = R2 çemberlerine dısındaki P(x1 , y1) noktasından çizilen teğetlerin uzunluğu:
3) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberlerine P(x1 y1) den çizilen teğet uzunluğu ise
dir. (teğet uzunluğunu bulmak için, noktanın koordinatları genel çember denkleminde yerine konularak karekökü alınır.)
ÖRNEK:
x2 + y2 = 25 çemberine P(7, 1) noktasından çizilen teğetin uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
x2 + y2 = 25 çember denklemi x2 + y2 25 = 0 genel biçime getirilerek
bulunur.
Yanıt: B
4) İki çemberin kesisme noktalarından geçen doğru denklemi, onların denklemleri taraf tarafa çıkarılarak bulunacak birinci dereceden denklemdir.
Not: İki çembere çizilen teğetlerin esit olduğu noktaların geometrik yeri de aynı doğrudur.
ÖRNEK:
x2 + y2 4x + 2y 15 = 0 ve 2x2 + 2y2 3x + 5y 28 = 0 çemberlerinin kesisme noktalarından geçen doğru denklemleri asağıdakilerden (bilgi yelpazesi.net) hangisidir?
A) x + y + 2 = 0
B) x y + 2 = 0
C) 5x + y 2 = 0
D) 5x + y + 2 = 0
E) 5x y + 2 = 0
Çözüm:
1. çember denkleminin 2 ile çarptıktan sonra taraf tarafa çıkaralım.
doğru denklemi bulunur.
Bu da 5x + y + 2 = 0 doğrusudur.
Yanıt: D
5) Bir çembere çizilen iki teğetin değme noktalarını birlestiren doğruya değme kirisi denir.
Değme kirisinin denklemi: Teğetlerin kesisme noktası P(x1 y1) ise değme kirisinin denklemi tıpkı teğet denklemi gibidir.
Örneğin, x2 + y2 = r2 çemberine P(x1 y1) den çizilen teğetlerin değme kirisinin denklemi x x1 + y y1 = r2biçimindedir.
ÖRNEK:
x2 + y2 = 20 çemberi ile 3x 2y = 5 doğrusu veriliyor.
Doğrunun çemberi kestiği noktalardan çizilen iki teğetin kesisme noktası asağıdakilerden hangisidir?
A) (12, 8)
B) (8, 12)
C) (2, 8)
D) (12, 8)
E) (8, 12)
Çözüm:
Verilen doğru değme kirisi olacağı için denklemi P(x1 y1) e göre, x x1 + y y1 = 20 olmalıdır. Halbuki doğru denklemi 3x 2y = 5 olarak verilmistir.
Bunu 4 ile genisletirsek 12x 8y = 20 bulunur. Buradan P noktasının koordinatları (12, 8) olduğu görülür.
Yanıt: C
6) İki çemberin kesisme noktalarından geçen tüm çemberlerin demetinin denklemi:
Çember denklemleri:
m değistikçe bulunan çemberler bu iki çemberin kesisme noktaları A ve B den geçen çemberlerdir.
ÖRNEK:
x2 + y2 + 4x 3y 17 = 0 ve x2 + y2 6x 6 = 0 çemberlerinin kesisme noktalarından ve P(1,2) noktasından geçen çemberin denklemi nedir?
Çözüm:
x2 + y2 + 4x 3y 17 + m(x2 + y2 6x 6) = 0 biçimindedir.
m yi bulalım:
P(1, 2) bu çemberin üzerinde olduğu için bu denklemi sağlar.
O halde;
1 + 4 + 4 6 17 + m (1 + 4 6 6) = 0
14 7m = 0 => m = 2
dir.
Aranılan denklem:
Yanıt: C
ÖRNEK:
x2 + y2 = 9 çemberine
x2 + y2 10x + 24y + m + 9 = 0 çemberi dıstan teğet ise m kaçtır?
A) 55
B) 60
C) 70
D) 80
E) 79
Çözüm:
x2 + y2 = 9 çemberi merkezi orijinde ve yarıçapı 3 tür.
x2 + y2 10x 24y + m + 9 = 0 çemberinin merkezi
den M(5, 12) dir. Çemberler dıstan teğet
olacakları için |MO| = R + 3 dür.
O halde, m + 9 = 69 dan m = 60 bulunur.
Yanıt: B
ÖRNEK:
x = 1 ve x = 3 doğrularına teğet olan ve merkezi y = 2x 3 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Çember x = 1 ve x = 9 doğrularına teğet olacağı için çapı 9 1 = 8 birimdir. Yani r = 4 tür.
Merkezin ordinatı: y = 2x 3 = 2.5 3 = 7 dir.
Merkezi ve yarıçapı bilinen çember denkleminden (x 5)2 + (y 7)2 = 16 olarak bulunur.
ÖRNEK:
Sekilde,
doğrusuna ve y eksenine teğet olan çember veriliyor.
|OT| = 5 ise bu çemberin (bilgi yelpazesi.net) denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
|OD| = |OT| = 5 tür, M merkezinin y si 5 ; x i ise r yarıçaplarıdır.
M(r, 5) tür. Bunun
doğrusuna olan uzaklığı da r yarıçapıdır. Doğru denklemi 5y 12x = 0 biçimine getirilerek
Yanıt: A
ÖRNEK:
x2 + y2 + 6x + 4y 5 = 0 ve x2 + y2 2x + 2y 7 = 0 çemberlerine P den çizilen teğetler esit olduğuna göre P noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir?
A) 4x y + 1 = 0
B) 4x + y + 1= 0
C) 12x + y + 1 = 0
D) 2x y + 1 = 0
E) 4x + 2y + 1 = 0
Çözüm:
P den çizilen teğetler esitse P noktasının geometrik yeri kesisme noktalarından geçen doğru denklemidir.
Bu da çember denklemleri taraf tarafa çıkarılarak bulunur.
sadelestirerek 4x + y + 1 = 0
Geometrik yer denklemi: 4x + y + 1 = 0 olarak bulunur.
Yanıt: B
ÖRNEK:
B(2, 1) noktasından geçen ve eksenlere teğet olan çember denklemi asağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
Merkezin ordinatı r ise apsisi r ve yarıçapı yine r dir. M(r, r) ve |MB| = r olacağından
r = 1 veya r = 5.
O halde problemin iki cevabı vardır.
1) (x + 5)2 + (y 5)2 = 15
2) (x + 1)2 + (y 1)2 = 1
bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
A(5, 1) noktasının y ax 2 = 0 doğrularına göre simetrikleri olan noktaların geometrik yerinin denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
y = ax + 2 doğrusu daima B(0, 2) noktasından geçer.
A nın bu doğruya göre simetriği A'(x, y) ise daima |BA| = |BA'| olacaktır.
Yanıt: C
Baslangıç noktaları aynı, birbirine dik iki reel sayı ekseninden olusan sisteme koordinat sistemi denir.
Yukarıda bir kordinat sistemi çizilmistir.
Yatay eksene x ekseni (absis), düsey eksene y ekseni (ordinat) denir.
İçerisinde bir koordinat sistemi alınan düzleme analitik düzlem adı verilir.
Analitik düzlemde noktalar, koordinatlar dediğimiz reel sayı ikilileri ile gösterilir.
Bir noktanın koordinatları eksenlere indirilen dikme ayaklarına karsı gelen sayılardır.
x eksenindeki önce, y eksenindeki sonra yazılır.
Örneğin yukarıdaki sekildeki A noktasının koordinatları (5,3) dür.
Analitik düzlemde noktalar dört farklı bölgede bulunurlar.
x > 0 , y > 0 olan A(x,y) noktaları I. bölgede, x < 0, y > 0 olan B(x,y) noktaları II. bölgede x < 0, y < 0 olan C(x,y) noktaları III. Bölgede ve x > 0 , y < 0 olan D(x,y) noktaları IV. bölgede bulunur.
Ayrıca x ekseni üzerinde bulunan her noktanın
si sıfırdır.Bundan dolayı x ekseni y = 0 doğrusudur; y ekseni üzerinde bulunan her noktanın absisi sıfırdır.
Bundan dolayı y ekseni x = 0 doğrusudur.
x = n doğrusu x = n den y eksenine çizilen paralel doğrudur.
y = m den x eksenine çizilen paralel doğru da y = m doğrusudur.
ÖRNEK:
A(a,b) noktası koordinat düzleminde 3. bölgede bulunduğuna göre, (a,b) ikilisi asağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (1, 2)
B) (3, 2)
C) (2, 3)
D) (1, 1)
E) (0, 4)
Çözüm:
Üçüncü bölgede x < 0 , y < 0 olduğu için istenen nokta (1, 1) olabilir.
Yanıt: D
ANALİTİK DÜZLEMDE NOKTADOĞRU İLİSKİLERİ
1) A(x1y1) ve B(x2y2) ise A, B noktaları arasındaki uzaklık
formülü ile bulunur.
DOĞRUNUN EĞİMİ
Tanım:
Bir doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açının tanjantına O doğrunun eğimi denir.
d doğrusu eğimi => m = tan
İKİ NOKTASI BİLİNEN BİR DOĞRUNUN EĞİMİ
A(x1y1), B(x2y2) iken AB doğrusunun eğimi
ÖRNEK:
A(1,2), B(2,3) noktalarından geçen doğrunun eğimi nedir?
Çözüm:
DOĞRU DENKLEMİ
Birinci dereceden iki bilinmeyenli ax + by + c = 0 gibi her denklem analitik düzlemde bir doğru gösterir.
Bir doğru denkleminde doğrunun eğimini bulmak için denklem y ye göre çözülür. x in katsayısı eğimdir.
ÖRNEK:
mx + (m + 1) y 3m + 4 = 0 doğrusunun eğimi
A) 3 B) 4 C) 5 D) 3 E) 4
Çözüm:
mx + (m + 1) y 3m + 4 = 0 doğrusunun eğimi
Yanıt: A
ÖRNEK:
x + y 12 = 0 doğrusu x ekseninin pozitif yönüyle kaç derecelik açı yapar?
A) 45
B) 75
C) 120
D) 135
E) 150
Çözüm:
x + y 12 = 0 => y = x + 12 dir.
Bu doğrunun eğimi m = 1 dir.
Eğim açısı tan
Yanıt: D
ÖRNEK:
A) 60
B) 75
C) 80
D) 120
E) 150
Çözüm:
eğim: m = 3 bulunur.
Doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açı
Burada
Yanıt: A
KÖŞELERİNİN KOORDİNATLARI
A(x1y1), B(x2y2), C(x3y3) olan ABC üçgeninin alanı:
Asağıdaki formülle bulunur.
pratikte üç kösenin koordinatları alt alta konur. İlk köse alta birkez daha yazılır. Çapraz çarpımların toplamları(bilgi yelpazesi.net) bulunur.
Bunların farkının mutlak değerinin yarısı alandır.
ÖRNEK:
Köseleri A(3,6), B(1,5), C(5,7) olan üçgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm:
Formülle:
dir.
Yanıt: B
Pratik Çözüm:
8. A(x1y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi:
y y1 = m (x x1)
dir.
ÖRNEK:
A(2, 5) noktasından geçen ve eğimi
Olan doğrunun denklemi hangisidir?
A) x + 3y + 13 = 0
B) x + 3y 15 = 0
C) x 3y + 13 = 0
D) x 3y 15 = 0
E) x + y + 3 = 0
Çözüm:
Denklemi: y y1 = m (x x1) den
ÖRNEK:
A(2,6) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönü ile 45° lik açı yapan dğrunun denklemi nedir?
A) y x 6 = 0
B) y x 5 = 0
C) y x 10 = 0
D) y + x 8 = 0
E) y x y = 0
Çözüm:
A(2,6) noktasından geçen ve eğimi
m = tan45° = 1 olan doğru denklemi:
y 6 = 1 (x + 2)
Yanıt: E
A(x1y1) ve B(x2y2) noktalarından geçen doğru denklemi:
Özel olarak eksenleri A(a,0) ve B(b,0) noktalarında kenar doğru denklemi:
ÖRNEK:
A(3,6) ve B(4,3) noktalarından geçen doğru denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 9x y + 33 = 0
B) 9x + y 33 = 0
C) 9x + y + 7 = 0
D) 9x + 3y 2 = 0
E) 9x + 8y + 13 = 0
Çözüm:
İki noktası bilindiğinden,
bulunur.
Yanıt: B
ÖRNEK:
Yukarıdaki şekilde verilen doğrunun denklemi hangisidir?
A) x + 3y + 3 = 0
B) 3x + y 3 = 0
C) x + 3y + 5 = 0
D) x 3y + 3 = 0
E) x y + 3 = 0
Çözüm:
Eksenleri (3,0) ve (0,1) noktalarında kesiyor.
O halde denklem
bulunur.
Yanıt: D
10. A(x1y1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı:
ÖRNEK:
A(3,2) noktasının 3x 4y + 3 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm:
Yanıt: C
ÖRNEK:
Bir ADBC nin [BC] kenarı, denklemi 5x + 12y + 3 = 0 olan bir doğru üzerindedir.
A kösesinin koordinatları (5,2) olduğuna (bilgi yelpazesi.net) göre, ha yüksekliği kaç birimdir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Çözüm:
ha yüksekliği, A kösesinin BC doğrusuna olan uzaklığı olacağı için
Yanıt: C
Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru arasındaki açının tanjantı
Paralellik kosulu: m1 = m2 olmalı
Diklik kosulu: m1.m2 = 1 olmalıdır.
ÖRNEK:
nedir?
Çözüm:
Yanıt: A
Not: Bu iki doğru arasındaki genis açının tanjantı sorulsaydı, bulunan bu değerin negatifi alınırdı.
ÖRNEK:
(m1) x + 3y m 3 = 0 , (m 3) x + 2y m + 1 = 0
Bu iki doğrunun paralel olması için m ne olmalıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm:
Bu iki doğrunun eğimi esit olmalıdır.
Yanıt: C
Not: ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 doğruları paralel ise
ÖRNEK:
doğrularının dik olması için m ne olmalıdır?
A) 10
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
Çözüm:
Doğruların dik olması için eğimleri çarpımları 1 olmalıdır.
Buradan 6m 30 = 3m ve m = 18 bulunur.
Yanıt: D
Denklemleri ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 olan iki doğrunun belirttiği açıların açıortaylarının denklemleri:
(Açıortayların, kenarlardan esit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olduğuna dikkat ediniz.)
formüldeki ( ∓ ) isareti + olarak alındığında d1 doğrusu bulunuyorsa () alındığında d2 doğrusu bulunur.
ÖRNEK:
Denklemleri 9x 2y + 12 = 0 ve 6x + 7y 15 = 0 doğrularının belirttiği açıların açıortaylarının birinin denklemi asağıdakilerden (bilgi yelpazesi.net) hangisidir?
A) x + 3y + 9 = 0
B) 15x + 5y + 5 = 0
C) x 4y + 9
D) 3x + 6y + 9 = 0
E) 15x + 5y 3 = 0
Çözüm:
Açıortay denklemleri
9x 2y + 12 = ∓ (6x + 7y 5)
Buradan (+) lısı alındığında,
3x 9y + 27 = 0 den x 3y + 9 = 0 bulunur.
() lisi alındığında, 15x + 5y 3 = 0 bulunur.
Yanıt: E
Üç kösesi bilinen ağırlık merkezinin koordinatları Üçgenin köseleri A(x1y1) , B(x2y2) , C(x3y3) ise ağırlık merkezi G nin koordinatları
ÖRNEK:
Köselerinin koordinatları A(6,1), B(5,8), C(2,11) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları nedir?
Çözüm:
O halde ağırlık merkezi G(3,6) noktasıdır.
Denklemleri ax + by + c = 0 ve a'x + b'y + c' = 0 olan iki doğrunun kesisme noktalarından geçen tüm doğruların demetinin denklemi:
m farklı değerler aldıkça A dan geçen farklı doğrular bulunur.
ÖRNEK:
3x 5y 8 = 0 ve 5x + 2y + 4 = 0 doğrularının kesisme noktası ile orijinden geçen doğru denklemi hangisidir?
A) 13x 9y = 0
B) 9x 12y = 0
C) 9x + 13y = 0
D) 13x + 9y = 0
E) 9x + y = 0
Çözüm:
3x + 5y 8 = 0 ve 5x + 2y + 4 = 0 doğrularının kesisme noktasından geçen tüm doğruların demetinin denklemi:
3x + 5y 8 + m (5x + 2y + 4) = 0 dır.
Aranılan denklem budur. m yi bulmak için verilen noktanın koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.
Verilen nokta O(0,0) olduğu için,
8 + 4m = 0 => m = 2
dir.
Aranılan doğru denklemi:
3x + 5y 8 + 2 (5x + 2y + 4) = 0 dan
13x + 9y = 0 bulunur.
Yanıt: D
ÖRNEK:
(3 + m) x + (2 m) y 11 + 3m = 0 (m e R) ise bu denkleminin gösterdiği doğrular hangi noktadan geçerler?
A) (4, 1)
B) (1, 4)
C) (1, 4)
D) (4, 1)
E) (1, 1)
Çözüm:
1. yol: Denklem parantezden kurtarılır ve m ye göre düzenlenerek doğru demetinin denklemi bulunur.
Sistemin çözümü: x = 1, y = 4 olduğu için nokta (1,4) dır.
2. yol: m için farklı iki değer verilerek iki bilinmiyenli iki denklem bulunur.
Bu sistem çözülür.
(3+m) x + (2m) y 11 + 3m = 0 denkleminde m = 3 ve m = 2 verelim.
bulunur. Nokta A(1,4) dür.
Yanıt: B
SİMETRİLER:
P(x,y) noktasının x eksenine göre simetriği P'(x,y) dir.
P(x,y) noktasının y eksenine göre simetriği P'(x,y) dir.
P(x,y) noktasının orijine göre simetriği P(x,y) dir.
P(x,y) noktasının y=x doğrusuna göre simetriği P'(y,x) dir.
P(x,y) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği : P'(y,x) dir.
P(x,y) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği: P'(2ax,y) dir.
P(x,y) noktasının y = b doğrusuna göre simetriği: P'(x,2by) dir.
P(x,y) noktasının A(a,b) noktasına göre simetriği P'(2ax,2by) dir.
ÖRNEK:
A(2,1) noktasının B(3,2) noktasına göre simetriği C dir. C nin y = x doğrusuna göre simetriği D ise |AD| uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
A(2,1) in B(3,2) ye göre simetriği C(2.32, 2.21) => C(4,3) tür.
( [AC] nin ortasının B olduğuna dikkat ediniz.)
C nin y = x e göre simetriği D(3,4) dür.
bulunur.
Yanıt: D
ÖRNEK:
A(1,3) noktasının y = 3x + 1 doğrusuna göre simetriği hangi noktadır?
Çözüm:
A dan geçen ve verilen doğruya dik olan doğru denklemi yazılır.
Bu iki doğru denklemi kesistirilerek B noktası bulunur.
A nın B ye göre simetriği istenen noktadır.
O halde;
y = 3x + 2 de eğim m = 3 A dan geçen bu doğruya dik olan doğru denklemi:
y = 3x + 1 ile bu doğrunun kesisme noktasını bulalım.
A nın B ye göre simetriği ise aranılan A' noktasıdır.
bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
A(3,4), B(5,3) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki P(x,0) noktası için |PA| + |PB| en küçük ise x kaçtır?
Çözüm:
B nin x eksenine göre simetriği B' yü bulalım.
|PB| = |PB'| dür.
O halde
|PA| + |PB| = |PA| + |PB'|
bunun en kısa olması halinde |PA|+|PB'|=|AB| olur.
O halde aranılan nokta AB' doğrusunun x eksenini kestiği noktadır.
Yanıt: C
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık:
a) Paralel doğrulardan biri üzerinde herhangi bir nokta alınır. Diğer doğruya olan uzaklığı hesaplanır. Bu uzaklık paralel iki doğru arasındaki uzaklıktır.
b) Paralel iki doğrunun denklemleri daima,
ax + by = c
ax + by = c'
biçimine getirilirler. Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık
ÖRNEK:
Denklemleri x 2y = 0 ve x 2y 5 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
Yanıt: E
ÖRNEK:
Denklemi x (2+m) y(12m) + 3m = 0 olan doğru, daima sabit bir noktadan geçmektedir.
Bu noktadan geçen ve y = x doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 5x + 5y + 9 = 0
B) 3x + 3y + 4 = 0
C) x + y 1 = 0
D) 2x + y + 3 = 0
E) x + y + 1 = 0
Çözüm:
Önce sabit noktayı bulalım:
Aranılan doğru, bu sabit noktadan geçen ve y = x doğrusuna paralel olan doğrudur.
O halde, aranılan (bilgi yelpazesi.net) doğrunun eğimi m = 1 dir.
5y + 5x + 9 = 0 bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
x |y| < 0 bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı bölge asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
x |y| < 0 => x < |y| dir.
Yani
y > 0 => x < y
y < 0 => x < y dir.
Buna göre, aranılan (x,y) ikilileri (A) seçeneğinde taralı olan bölgedir.
Yanıt: A
ÖRNEK:
Denklemleri 2x + 3y 8 = 0 ve 7x + 2y + 16 = 0 olan doğruların kesim noktasından ve koordinat baslangıcından geçen doğrunun denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 11x + 8y = 0
B) 8x + 11y = 0
C) x 6y = 0
D) 6x y = 0
E) 9x + 5y = 0
Çözüm:
İstenen doğru 2x + 3y 8 = 0 ve 7x + 2y + 16 = 0 doğrularının kesisme noktalarından geçiyorsa, bu iki doğrunun kesisme noktalarından geçen doğru demetinin denklemi biçimindedir.
2x + 3y 8 + m(7x + 2y + 16) = 0
dir. Burada m bilinmiyor. Bu doğrunun orijinden [O(0,0)] geçtiği bilindiği için denklemde x ve y yerine (0) konularak m bulunur.
bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
3x 2y + 11 = 0 ve 2x 3y 6 = 0 doğrularının belirttiği açıların açıortaylarından birinin denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) x y + 1 = 0
B) x + y 1 = 0
C) 3x + 2y 2 = 0
D) 5x + 5y + 1 = 0
E) 5x y + 17 = 0
Çözüm:
Açıortay denklemi:
dan
a) 3x 2y + 11 = 2x 3y 6 => x + y + 17 = 0
b) 3x 2y + 11 = (2x3y6) => 5x5y + 5 = 0
Ya da x y + 1 = 0
Yanıt: A
ANALİTİK ÇEMBER
Analitik düzlemde çember denklemleri ve bunların teğetlerinin denklemleri asağıda gösterilmistir.
1) Merkezi orijinde ( , ) ve yarıçapı r olan çember denklemi: x2 + y2 = r2 dir.
Bu çemberin üzerindeki A(x1, y1) noktasındaki teğet denklemleri de
x x1 + y y1 = r2 dir.
ÖRNEK:
Merkezi orijinde yarıçapı 6 olan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Merkezi orijinde yarıçapı r = 6 olan çember denklemi
x2 + y2 = 62 den x2 + y2 = 36 bulunur.
Yanıt: D
ÖRNEK:
x2 + y2 = 25 çemberi üzerinde A(x, 4) ve (x < 0) noktasındaki teğet denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 4y 25 = 0
B) 3x + 4y + 25 = 0
C) 4x + 3y + 25 = 0
D) 4x + 3y 25 = 0
E) 4x 3y 25 = 0
Çözüm:
x2 + y2 = 25 çemberinde y = +4 olan noktalar için x2 + 16 = 25 => x2 = 25 16 , x = 3 ve x = 3 bulunur.
İstenen nokta A(3, 4) olduğu için teğet denklemi xx1 + yy1 = r2 => 3x + 4y = 25 bulunur.
Yanıt: A
2) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember denklemi (x − a)2 + ( y − b)2 = r2 dir.
Bu çember üzerindeki A(x1 y1) noktasından bu çembere çizilen teğetin denklemi:
ÖRNEK:
Merkezi (3, 1) ve yarıçapı r = 3 olan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Merkezi M(a, b) yarı çapı r olan çember denklemi:
(xa)2 + (yb)2 = r2 olan (x3)2 + (y1)2 = 32 veya çember denklemi: x2 + y2 6x 2y + 1 = 0 biçiminde bulunur.
Yanıt: B
3) x2 + y2 + Dx + Ey + F biçimindeki iki bilinmeyenli İkinci Derece Denklemleri:
D2 + E2 4F > 0 ise bir çember gösterir. Bu çemberin merkezi
Not 1: D2 + E2 4F = 0 ise bu denklemin
noktasının, D2+E24F<0 ise bu denklem hiç birsey göstermez; ifadesi Ø dır.
Eğer D2 + E2 4F > 0 ise x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0 çemberi üzerinde A(x1 y1) noktasındaki teğet denklemi
biçimindedir.
Not2: Bütün çember denklemlerinden teğet denklemlerini bulmak için, çember denkleminde x2 yerine
x.x1 , y2 yerine y.y1 , (xa)2 yerine (xa) (x1a), (yb)2 yerine (yb) (y1b) ve x yerine
ÖRNEK:
x2 + y2 + 6x 4y 12 = 0 çemberinin merkezi M(a, b) ve r yarıçapı hangisidir?
Çözüm:
Yanıt: B
Dikkat: Bu soruyu tam kareler biçimine getirerek de çözebilirsiniz.
x2 + y2 + 6x 4y 12 = 0 her iki yana 32 + 22 ekleyerek
x2 + 6x + 9 + y2 4y + 4 12 = 9 + 4
(x + 3)2 + (y 2)2 = 25 bulunur.
Buradan merkezin M(3, 2) , r = 5 olduğu görülür.
ÖRNEK:
x2 + y2 + 6x 8y 15 = 0 çemberi üzerindeki A(3,
2) noktasından çizilen teğetin denklemi asağıdakilerden hangisidir?
A) 3x y 7 = 0
B) 3x + y 7 = 0
C) 3x + y = 0
D) x = 3y + 7 = 0
E) x 3y 7 = 0
Çözüm:
Teğet denkleminden
3x + 2y + 3 (x + 3) 4 (y + 2) 15 = 0
6x 2y 14 = 0 ® 3x y 7 = 0 dır.
Yanıt: A
Çember denklemlerinde kullanacağımız bazı kolaylıklar
1) Bir çemberle bir doğrunun ya da iki çemberin kesisme noktalarını bulmak için onların ortak çözümü yapılır. (Ortak çözüm denkleminde
2) x2 + y2 = R2 çemberlerine dısındaki P(x1 , y1) noktasından çizilen teğetlerin uzunluğu:
3) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberlerine P(x1 y1) den çizilen teğet uzunluğu ise
ÖRNEK:
x2 + y2 = 25 çemberine P(7, 1) noktasından çizilen teğetin uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
x2 + y2 = 25 çember denklemi x2 + y2 25 = 0 genel biçime getirilerek
bulunur.
Yanıt: B
4) İki çemberin kesisme noktalarından geçen doğru denklemi, onların denklemleri taraf tarafa çıkarılarak bulunacak birinci dereceden denklemdir.
Not: İki çembere çizilen teğetlerin esit olduğu noktaların geometrik yeri de aynı doğrudur.
ÖRNEK:
x2 + y2 4x + 2y 15 = 0 ve 2x2 + 2y2 3x + 5y 28 = 0 çemberlerinin kesisme noktalarından geçen doğru denklemleri asağıdakilerden (bilgi yelpazesi.net) hangisidir?
A) x + y + 2 = 0
B) x y + 2 = 0
C) 5x + y 2 = 0
D) 5x + y + 2 = 0
E) 5x y + 2 = 0
Çözüm:
1. çember denkleminin 2 ile çarptıktan sonra taraf tarafa çıkaralım.
doğru denklemi bulunur.
Bu da 5x + y + 2 = 0 doğrusudur.
Yanıt: D
5) Bir çembere çizilen iki teğetin değme noktalarını birlestiren doğruya değme kirisi denir.
Değme kirisinin denklemi: Teğetlerin kesisme noktası P(x1 y1) ise değme kirisinin denklemi tıpkı teğet denklemi gibidir.
Örneğin, x2 + y2 = r2 çemberine P(x1 y1) den çizilen teğetlerin değme kirisinin denklemi x x1 + y y1 = r2biçimindedir.
ÖRNEK:
x2 + y2 = 20 çemberi ile 3x 2y = 5 doğrusu veriliyor.
Doğrunun çemberi kestiği noktalardan çizilen iki teğetin kesisme noktası asağıdakilerden hangisidir?
A) (12, 8)
B) (8, 12)
C) (2, 8)
D) (12, 8)
E) (8, 12)
Çözüm:
Verilen doğru değme kirisi olacağı için denklemi P(x1 y1) e göre, x x1 + y y1 = 20 olmalıdır. Halbuki doğru denklemi 3x 2y = 5 olarak verilmistir.
Bunu 4 ile genisletirsek 12x 8y = 20 bulunur. Buradan P noktasının koordinatları (12, 8) olduğu görülür.
Yanıt: C
6) İki çemberin kesisme noktalarından geçen tüm çemberlerin demetinin denklemi:
Çember denklemleri:
m değistikçe bulunan çemberler bu iki çemberin kesisme noktaları A ve B den geçen çemberlerdir.
ÖRNEK:
x2 + y2 + 4x 3y 17 = 0 ve x2 + y2 6x 6 = 0 çemberlerinin kesisme noktalarından ve P(1,2) noktasından geçen çemberin denklemi nedir?
Çözüm:
x2 + y2 + 4x 3y 17 + m(x2 + y2 6x 6) = 0 biçimindedir.
m yi bulalım:
P(1, 2) bu çemberin üzerinde olduğu için bu denklemi sağlar.
O halde;
1 + 4 + 4 6 17 + m (1 + 4 6 6) = 0
14 7m = 0 => m = 2
dir.
Aranılan denklem:
Yanıt: C
ÖRNEK:
x2 + y2 = 9 çemberine
x2 + y2 10x + 24y + m + 9 = 0 çemberi dıstan teğet ise m kaçtır?
A) 55
B) 60
C) 70
D) 80
E) 79
Çözüm:
x2 + y2 = 9 çemberi merkezi orijinde ve yarıçapı 3 tür.
x2 + y2 10x 24y + m + 9 = 0 çemberinin merkezi
olacakları için |MO| = R + 3 dür.
O halde, m + 9 = 69 dan m = 60 bulunur.
Yanıt: B
ÖRNEK:
x = 1 ve x = 3 doğrularına teğet olan ve merkezi y = 2x 3 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Çember x = 1 ve x = 9 doğrularına teğet olacağı için çapı 9 1 = 8 birimdir. Yani r = 4 tür.
Merkezin ordinatı: y = 2x 3 = 2.5 3 = 7 dir.
Merkezi ve yarıçapı bilinen çember denkleminden (x 5)2 + (y 7)2 = 16 olarak bulunur.
ÖRNEK:
Sekilde,
doğrusuna ve y eksenine teğet olan çember veriliyor.
|OT| = 5 ise bu çemberin (bilgi yelpazesi.net) denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
|OD| = |OT| = 5 tür, M merkezinin y si 5 ; x i ise r yarıçaplarıdır.
M(r, 5) tür. Bunun
Yanıt: A
ÖRNEK:
x2 + y2 + 6x + 4y 5 = 0 ve x2 + y2 2x + 2y 7 = 0 çemberlerine P den çizilen teğetler esit olduğuna göre P noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir?
A) 4x y + 1 = 0
B) 4x + y + 1= 0
C) 12x + y + 1 = 0
D) 2x y + 1 = 0
E) 4x + 2y + 1 = 0
Çözüm:
P den çizilen teğetler esitse P noktasının geometrik yeri kesisme noktalarından geçen doğru denklemidir.
Bu da çember denklemleri taraf tarafa çıkarılarak bulunur.
sadelestirerek 4x + y + 1 = 0
Geometrik yer denklemi: 4x + y + 1 = 0 olarak bulunur.
Yanıt: B
ÖRNEK:
B(2, 1) noktasından geçen ve eksenlere teğet olan çember denklemi asağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
Merkezin ordinatı r ise apsisi r ve yarıçapı yine r dir. M(r, r) ve |MB| = r olacağından
r = 1 veya r = 5.
O halde problemin iki cevabı vardır.
1) (x + 5)2 + (y 5)2 = 15
2) (x + 1)2 + (y 1)2 = 1
bulunur.
Yanıt: A
ÖRNEK:
A(5, 1) noktasının y ax 2 = 0 doğrularına göre simetrikleri olan noktaların geometrik yerinin denklemi asağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
y = ax + 2 doğrusu daima B(0, 2) noktasından geçer.
A nın bu doğruya göre simetriği A'(x, y) ise daima |BA| = |BA'| olacaktır.
Yanıt: C